고른 다면체

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고른 다면체정다각형으로 가지고 점추이(그 꼭짓점에서 추이적이다. 즉, 어떤 꼭짓점에서 다른 어떤 꼭짓점으로 등거리 맵핑이 있다)인 다면체이다. 모든 꼭짓점은 합동인 것과 같다.

고른 다면체는 (면추이와 변추이일 경우) 정다면체일 수 있고, (변추이이지만 면추이가 아닐 경우) 준정다면체이거나 (변추이도 면추이도 아닌 경우)반정다면체일 수 있다. 면과 꼭짓점은 볼록할 필요는 없어서, 많은 고른 다면체는 별 다면체이다.

다른 75개와 두 가지의 무한한 고른 다면체의 분류가 있다.

존 스킬링(John Skilling)이 발견한 큰 두번다듬은 이중마름모십이면체 (스킬링의 형태)를 포함해서, 모서리의 쌍이 일치하는 많은 불가능한 고른 다면체가 있다.

고른 다면체의 쌍대다면체면추이이고 꼭짓점 도형이 정다각형이고, 일반적으로 (고른) 쌍대다면체와 나란하게 분류된다. 정다면체의 쌍대는 정다면체이고, 아르키메데스의 다면체의 쌍대는 카탈랑의 다면체이다.

고른 다면체의 개념은 높은(낮은) 차원의 도형에 적용되는 고른 다포체의 개념의 특별한 경우이다.

정의[편집]

The Original Sin in the theory of polyhedra goes back to Euclid, and through Kepler, Poinsot, Cauchy and many others continues to afflict all the work on this topic (including that of the present author). It arises from the fact that the traditional usage of the term “regular polyhedra” was, and is, contrary to syntax and to logic: the words seem to imply that we are dealing, among the objects we call “polyhedra”, with those special ones that deserve to be called “regular”. But at each stage? Euclid, Kepler, Poinsot, Hess, Bruckner,…?the writers failed to define what are the “polyhedra” among which they are finding the “regular” ones.

(Branko Grunbaum 1994)

Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954)는 고른 다면체를 정다각형 면을 가지는 점추이 다면체로 정의했다. 이들은 다면체를 다각형의 각 변이 다른 다각형의 변의 길이와 같아서 다면체의 적절한 진부분집합이 같은 특성을 가지는 다각형들의 유한집합으로 정의했다. 다각형에 따라서 암묵적으로 3차원 유클리드 공간에 있는 다각형을 의미한다; 이것들은 비볼록하거나 서로 교차하는 것이 가능하다.

고른 다면체의 개념의 일부 일반화가 있다. 만약 연결성 가정이 없어지면, 정육면체 5개의 결합과 같이 다면체 여럿으로 분리될 수 있는 고른 결합체를 얻을 수 있다. 만약 다면체는 불가능하지 않다는 구현화 조건이 없으면, 소위 불가능한 고른 다면체를 얻는다. 이것들은 다면체의 더 일반적인 정의가 필요하다. Grunbaum (1994)은 다면체에 대한 보다 복잡한 정의를 내었고 McMullen & Schulte (2003)는 다면체에 대한 더 간단하고 더 일반적인 정의를 주었다: 그들의 용어에서 다면체는 불가능하지 않은 3차원 구현화가 가능한 2차원 추상다포체이다. 여기서 추상다포체는 다양한 조건을 만족하는 그 "면"들의 부분 순서 집합이고, 구현화는 그 꼭짓점을 공간으로 보내는 함수이며, 추상다포체의 어떤 두 구분되는 면이 구분되는 구현화를 가질 경우에 구현화는 불가능하지 않다. 불가능한 경우는 다음과 같다:

  • 숨겨진 면. 어떤 다면체는 면이 숨겨져 있다, 즉, 그 면의 내부의 어떤 점도 외부에서 볼 수 없다. 이것들은 보통 고른다면체로 세지 않는다.
  • 불가능한 결합체. 어떤 다면체는 다중의 모서리를 가지고 그 면들은 둘 이상의 다면체의 면이지만 이것들은 다면체들이 모서리를 공유하므로 이전 개념의 결합체는 아니다.
  • 이중 덮음. 고른 다면체의 정의를 만족하는 이중으로 덮는 비등방성 다면체가 있다. 이것은 그 면과 모서리와 꼭짓점을 두배로 가진다. 이것은 대부분 고른 다면체로 계수하지 않는다.
  • 이중 면. 위토프 생성으로 생긴 이중 면을 가지는 다면체가 일부 있다. 대부분의 사람들은 이중 면을 허용하지 않고 생성으로 생긴 것에서 제한다.
  • 이중 모서리. 스킬링의 형태는 이중 모서리(불가능한 고른 다면체가 가지는 특성)를 가지지만 그 면들은 고른 다면체 둘의 결합으로 쓰이지는 않는다.

고른 별 다면체[편집]

기둥형이 아닌 비볼록 형태 57개는 슈바르츠 삼각형에서 위토프 구성으로 만들어졌다.

위토프 구성의 볼록한 형태[편집]

Wythoffian construction diagram.png
정육면체와 정팔면체에서 만들어진 예

볼록한 고른 다면체는 위토프 생성 연산자와 원래 형태간의 관계를 통해 이름을 지을 수 있다.

졸록한 고른 다면체의 세부사항은 아래에 각 대칭군에서 위토프 구성으로 주어졌다.

위토프 생성에서, 낮은 대칭 형태에서 만들어진 것과 중복되는 것이 있다. 정육면체는 정다면체이면서 사각기둥이다. 정팔면체는 정다면체이자 엇삼각기둥이며 사각쌍뿔이다. 많은 다면체는 다른 생성 방법에서 중복되며 다르게 색칠된다.

위토프 생성은 고른 다면체와 구면위의 고른 타일링에 동일하게 적용하므로 그림은 둘 다 주어졌다. 구면 타일링은 호소헤드론이면체와 같은 불가능한 다면체를 포함한다.

이 대칭군은 삼차원의 점군의 대칭으로 생성되고, 각각은 기본 삼각형 (p q r)로 나타난다. 이 때, p > 1, q > 1, r > 1 이고 1/p + 1/q + 1/r < 1이다.

나머지 비반사 형태는 변이 짝수개인 다각형으로 덮인 다면체에 교대 연산을 적용해서 생성된다.

각기둥과 그 이면체 대칭을 따라, 구면 위토프 생성은 불가능한 정다면체 두 그룹을 만든다 – 이면체호소헤드론이다. 이면체는 면이 둘 뿐이고, 호소헤드론은 꼭짓점이 둘 뿐이다. 깎은 정호소헤드론은 각기둥을 만든다.

아래의 기둥형이 아닌 볼록한 고른 다면체는 대칭 형태의 표에서 1–18까지 색인되어있다.

기둥형의 무한한 집합에 대해서는 네 족만을 색인해놓았다:

  1. 호소헤드론 H2... (구면 타일링에서만 가능)
  2. 이면체 D2... (구면 타일링에서만 가능)
  3. 각기둥 P3... (깎은 호소헤드론)
  4. 엇각기둥 A3... (다듬은 각기둥)

나머지 비반사 형태들은 짝수개의 변을 가지는 면으로 이루어진 다면체에 교대 연산자를 적용하여 생성된다.

각기둥과 그 이면체 대칭을 따라, 구면 위토프 생성 과정은 불가능한 정다면체의 두 분류를 만든다 – 이면체호소헤드론이다. 이면체는 면이 둘 뿐이고, 호소헤드론은 꼭짓점이 둘 뿐이다. 호소헤드론을 깎으면 각기둥이 생간다.

아래의 볼록한 고른 다면체는 각기둥이 아닌 형태에 대해서 대칭 형태의 표에 1-18까지 색인하여 나타냈다.

기둥 형태의 무한집합에 대해서는 네 족으로 색인을 했다:

  1. 호소헤드론 H2... (구면 타일링에서만 가능)
  2. 이면체 D2... (구면 타일링에서만 가능)
  3. 각기둥 P3... (깎은 호소헤드론)
  4. 엇각기둥 A3... (다듬은 각기둥)

요약 표[편집]

존슨
이름
원본 깎기 절반 깎기 비트 깎기
(깎은 쌍대)
완전 깎기
(쌍대)
부풀림 부풀려
깎기
다듬음
콕서터
다이어그램
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png
확장된
슐레플리
기호
{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q} 2r{p,q} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} ht0,1,2{p,q}
위토프
기호

(p q 2)
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
꼭짓점
도형
pq q.2p.2p (p.q)2 p.2q.2q qp p.4.q.4 4.2p.2q 3.3.p.3.q
정사면체
(3 3 2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t01.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t1.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-33-t12.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t2.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t02.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-33-t012.png
4.6.6
Uniform polyhedron-33-s012.svg
3.3.3.3.3
정팔면체
(4 3 2)
Uniform polyhedron-43-t0.svg
4.4.4
Uniform polyhedron-43-t01.svg
3.8.8
Uniform polyhedron-43-t1.svg
3.4.3.4
Uniform polyhedron-43-t12.svg
4.6.6
Uniform polyhedron-43-t2.svg
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t02.png
3.4.4.4
Uniform polyhedron-43-t012.png
4.6.8
Uniform polyhedron-43-s012.png
3.3.3.3.4
정이십면체
(5 3 2)
Uniform polyhedron-53-t0.png
5.5.5
Uniform polyhedron-53-t01.png
3.10.10
Uniform polyhedron-53-t1.png
3.5.3.5
Uniform polyhedron-53-t12.png
5.6.6
Uniform polyhedron-53-t2.png
3.3.3.3.3
Uniform polyhedron-53-t02.png
3.4.5.4
Uniform polyhedron-53-t012.png
4.6.10
Uniform polyhedron-53-s012.png
3.3.3.3.5

그리고 이면체 대칭의 표본이다:

(p 2 2) 원본 깎기 절반 깎기 비트 깎기
(깎은 쌍대)
완전 깎기
(쌍대)
부풀림 부풀려
깎기
다듬음
콕서터
다이어그램
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
확장된
슐레플리
기호
{p,2} t{p,2} r{p,2} 2t{p,2} 2r{p,2} rr{p,2} tr{p,2} sr{p,2}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} ht0,1,2{p,2}
위토프
기호
2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
꼭짓점
도형
p2 2.2p.2p p.2.p.2 p.4.4 2p p.4.2.4 4.2p.4 3.3.3.p
이면체 대칭
(2 2 2)
Digonal dihedron.png
{2,2}
Tetragonal dihedron.png
2.4.4
Digonal dihedron.png
2.2.2.2
Tetragonal dihedron.png
4.4.2
Digonal dihedron.png
2.2
Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism2.png
4.4.4
Spherical digonal antiprism.png
3.3.3.2
이면체 대칭
(3 2 2)
Trigonal dihedron.png
3.3
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Trigonal dihedron.png
2.3.2.3
Spherical triangular prism.png
4.4.3
Spherical trigonal hosohedron.png
2.2.2
Spherical triangular prism.png
2.4.3.4
Spherical hexagonal prism2.png
4.4.6
Spherical trigonal antiprism.png
3.3.3.3
이면체 대칭
(4 2 2)
Tetragonal dihedron.png
4.4
2.8.8 Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism.png
4.4.4
Spherical square hosohedron.png
2.2.2.2
Spherical square prism.png
2.4.4.4
Spherical octagonal prism2.png
4.4.8
Spherical square antiprism.png
3.3.3.4
이면체 대칭
(5 2 2)
Pentagonal dihedron.png
5.5
2.10.10 Pentagonal dihedron.png
2.5.2.5
Spherical pentagonal prism.png
4.4.5
Spherical pentagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2
Spherical pentagonal prism.png
2.4.5.4
Spherical decagonal prism2.png
4.4.10
Spherical pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
이면체 대칭
(6 2 2)
Hexagonal dihedron.png
6.6
Dodecagonal dihedron.png
2.12.12
Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6
Spherical hexagonal prism.png
4.4.6
Spherical hexagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2.2
Spherical hexagonal prism.png
2.4.6.4
Spherical dodecagonal prism2.png
4.4.12
Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6

(3 3 2) Td 정사면체 대칭[편집]

구면에서 정사면체 대칭은 고른 다면체 5개를 만들고, 다듬음 연산자를 통해 여섯번째 형태를 만든다.

정사면체 대칭은 한 꼭짓점은 거울이 두 개 있고, 다른 두 꼭짓점은 거울이 세 개 있는 기본 삼각형 (3 3 2)로 나타난다. 이것은 콕서터 군 A2또는 [3,3]과 콕서터 다이어그램 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png으로도 나타낼 수 있다.

삼각형이 24개가 있으며, 삼방육면체의 면에서, 구면에 교대로 색칠해서 나타냈다:

Tetrakishexahedron.jpg Tetrahedral reflection domains.pngSphere symmetry group td.png
# 이름 그래프
A3
그래프
A2
그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
꼭짓점
1 정사면체 3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
[1] 완전 깎은 정사면체
(정사면체와 같음)
3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t2{3,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
2 절반 깍은 정사면체
(정팔면체와 같음)
3-simplex t1.svg 3-simplex t1 A2.svg Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform tiling 332-t1-1-.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3}=r{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
3 깎은 정사면체 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 18 12
[3] 비트 깎은 정사면체
(깎은 정사면체)
3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t1,2{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 6.svg
{6}
8 18 12
4 마름모사사각형
(육팔면체와 같음)
3-simplex t02.svg 3-simplex t02 A2.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3}=rr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
5 깎은 사사면체
(깎은 정팔면체와 같음)
3-simplex t012.svg 3-simplex t012 A2.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}=tr{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
6 다듬은 사사면체
(정이십면체와 같음)
Icosahedron graph A3.png Icosahedron graph A2.png Uniform polyhedron-33-s012.png Spherical snub tetrahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12

(4 3 2) Oh 정팔면체 대칭[편집]

구면에서 정팔면체 대칭은 고른 다면체 7개를 만들고, 교대 연산을 하면 7개 더 만든다. 이 형태중 여섯 개는 위에 있는 정사면체 대칭 표의 내용과 중복된다.

정팔면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울 개수로 (4 3 2)인 기본 삼각형으로 나타난다. 콕서터 군으로 B2또는 [4,3]과 콕서터 다이어그램 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png으로 표시할 수 있다.

삼각형이 48개가 있으며, 육방팔면체의 면과 구면에 교대로 색칠해서 나타냈다:

Disdyakisdodecahedron.jpg Octahedral reflection domains.pngSphere symmetry group oh.png
# 이름 그래프
B3
그래프
B2
그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(6)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(12)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(8)
모서리 꼭짓점
7 정육면체 3-cube t0.svg 3-cube t0 B2.svg Uniform polyhedron-43-t0.png Uniform tiling 432-t0.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
[2] 정팔면체 3-cube t2.svg 3-cube t2 B2.svg Uniform polyhedron-43-t2.png Uniform tiling 432-t2.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,4}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
[4] 절반 깎은 정육면체
절반 깎은 정팔면체
(육팔면체)
3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg Uniform polyhedron-43-t1.png Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
8 깎은 정육면체 3-cube t01.svg 3-cube t01 B2.svg Uniform polyhedron-43-t01.png Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{4,3}=t{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 36 24
[5] 깎은 정팔면체 3-cube t12.svg 3-cube t12 B2.svg Uniform polyhedron-43-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,4}=t{3,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
9 부풀린 정육면체
부풀린 정팔면체
마름모육팔면체
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{4,3}=rr{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 48 24
10 부풀려 깎은 정육면체
부풀려 깎은 정팔면체
깎은 육팔면체
3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Great rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}=tr{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 72 48
[6] 다듬은 정팔면체
(정이십면체와 같음)
3-cube h01.svg 3-cube h01 B2.svg Uniform polyhedron-43-h01.png Spherical alternated truncated octahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
s{3,4}=sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
[1] 절반 정육면체
(정사면체와 같음)
3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png
h{4,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
4 6 4
[2] Cantic 정육면체
(깎은 정사면체)
3-simplex t01 A2.svg 3-simplex t01.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
h2{4,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
1/2 {6}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
8 18 12
[4] (육팔면체와 같음) 3-simplex t02 A2.svg 3-simplex t02.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
rr{3,3}
14 24 12
[5] (깎은 정팔면체와 같음) 3-simplex t012 A2.svg 3-simplex t012.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
tr{3,3}
14 36 24
[9] Cantic 깎은 정팔면체
(마름모육팔면체)
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s2{3,4}=rr{3,4}
26 48 24
11 다듬은 육팔면체 Snub cube A2.png Snub cube B2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Spherical snub cube.png Snub cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
38 60 24

(5 3 2) Ih 정이십면체 대칭[편집]

구면에서 정이십면체 대칭은 고른 다면체 7개를 만들고, 교대 연산을 통해 하나를 더 만든다. 하나만이 위의 정사면체나 정팔면체 대칭 표와 중복된다.

정이십면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울의 개수로 (5 3 2)인 기본 삼각형으로 나타낼 수 있다. 콕서터 군으로 G2이나 [5,3]과 콕서터 다이어그램 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png으로 나타낼 수 있다.

삼각형이 120개가 있으며, 육방이십면체의 면과 구면에서 교대로 색칠해서 나타냈다:

Disdyakistriacontahedron.jpg Icosahedral reflection domains.pngSphere symmetry group ih.png
# 이름 그래프
(A2)
[6]
그래프
(H3)
[10]
그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(12)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(30)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(20)
모서리 꼭짓점
12 정십이면체 Dodecahedron t0 A2.png Dodecahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
12 30 20
[6] 정이십면체 Icosahedron t0 A2.png Icosahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform tiling 532-t2.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,5}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
13 절반 깎은 정십이면체
절반 깎은 정이십면체
십이이십면체
Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Icosidodecahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{5,3}=r{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 60 30
14 깎은 정십이면체 Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{5,3}=t{5,3}
Regular polygon 5.svg
{10}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 90 60
15 깎은 정이십면체 Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,5}=t{3,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 6.svg
{6}
32 90 60
16 부풀린 정십이면체
부풀인 정이십면체
마름모십이이십면체
Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Small rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{5,3}=rr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
62 120 60
17 부풀려 깎은 정십이면체
부풀려 깎은 정이십면체
깎은 십이이십면체
Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Great rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}=tr{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
62 180 120
18 다듬은 십이이십면체 Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Uniform polyhedron-53-s012.png Spherical snub dodecahedron.png Snub dodecahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
92 150 60

(p 2 2) 기둥형 [p,2], I2(p) 족(Dph 이면체 대칭)[편집]

구면에서 이면체 대칭은 두 종류의 무한 고른 다면체 집합(각기둥과 엇각기둥)을 만들고, 구면에서 타일링으로만 존재하는 불가능한 두 종류의 다면체 그룹, 호소헤드론과 이면체를 만든다.

정이십면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울의 개수로 (p 2 2)인 기본 삼각형으로 나타낼 수 있다. 콕서터 군으로 I2(p)이나 [n,2]와 기둥형의 콕서터 다이어그램 CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png으로 나타낼 수 있다.

아래에는 D2 ... D6 까지 처음 다섯가지 이면체 대칭을 나타냈다. 이면체 대칭 Dp4n차이고, 쌍각뿔의 면과 구의 적도와 n개의 등간격의 경도로 나타난다.

(2 2 2) 이면체 대칭[편집]

기본 삼각형은 8개가 있으며, 사각쌍뿔(정팔면체)의 면과 구면에서 교대로 색칠해서 나타냈다:

Octahedron.svg Sphere symmetry group d2h.png
# 이름 그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.png
[2]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
모서리 꼭짓점
D2
H2
이각형 이면체
이각 호소헤드론
Digonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2,2}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
2 2 2
D4 깎은 이각형 이면체
(사각형 이면체와 같다)
Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{2,2}={4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
P4
[7]
부풀려 깍은 이각형 이면체
(정육면체와 같다)
Uniform polyhedron 222-t012.png Spherical square prism2.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,2}=tr{2,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
A2
[1]
다듬은 이각형 이면체
(정사면체와 같다)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,2}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  4 6 4

(3 2 2) D3h 이면체 대칭[편집]

기본 삼각형은 12개가 있으며, 육각쌍뿔의 면과 구면에서 교대로 색칠해서 나타냈다:

Hexagonale bipiramide.png Sphere symmetry group d3h.png
# 이름 그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.png
[3]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
모서리 꼭짓점
D3 삼각형 이면체 Trigonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{3,2}
Regular polygon 3.svg
{3}
2 3 3
H3 삼각 호소헤드론 Trigonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,3}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
3 3 2
D6 깎은 삼각형 이면체
(육각형 이면체와 같다)
Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{3,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
P3 깎은 삼각 호소헤드론
(삼각기둥과 같다)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
5 9 6
P6 부풀려 깎은 삼각형 이면체
(육각기둥)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism2.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,3}=tr{2,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
A3
[2]
다듬은 삼각형 이면체
(엇삼각기둥)
(정팔면체와 같다)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  8 12 6
P3 Cantic 다듬은 삼각형 이면체
(삼각기둥)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{2,3}=t{2,3}
5 9 6

(4 2 2) D4h 이면체 대칭[편집]

기본 삼각형은 16개가 있으며, 팔각쌍뿔의 면으로 나타냈다:

Octagonal bipyramid.png
# 이름 그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
모서리 꼭짓점
D4 사각형 이면체 Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
H4 사각 호소헤드론 Spherical square hosohedron.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,4}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
4 4 2
D8 깎은 사각형 이면체
(팔각 이면체와 같다)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{4,2}
Regular polygon 8.svg
{8}
2 8 8
P4
[7]
깎은 사각 호소헤드론
(정육면체와 같다)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
D8 부풀려 깎은 사각형 이면체
(팔각기둥과 같다)
Octagonal prism.png Spherical octagonal prism2.png Octagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,4}=tr{2,4}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
10 24 16
A4 다듬은 사각형 이면체
(엇사각기둥과 같다)
Square antiprism.png Spherical square antiprism.png Square antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  10 16 8
P4
[7]
Cantic 다듬은 사각형 이면체
(정육면체와 같다)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{4,2}=t{2,4}
6 12 8
A2
[1]
다듬은 사각 호소헤드론
(엇이각기둥)
(정사면체)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,4}=sr{2,2}
4 6 4

(5 2 2) D5h 이면체 대칭[편집]

기본 삼각형은 20개가 있으며, 십각쌍뿔면에서 나타냈다:

Decagonal bipyramid.png
# 이름 그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
모서리 꼭짓점
D5 오각형 이면체 Pentagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{5,2}
Regular polygon 5.svg
{5}
2 5 5
H5 오각 호소헤드론 Spherical pentagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,5}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
5 5 2
D10 깎은 오각형 이면체
(십각 이면체와 같다)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{5,2}
Regular polygon 10.svg
{10}
2 10 10
P5 깎은 오각 호소헤드론
(오각기둥과 같다)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
7 15 10
P10 부풀려 깎은 오각형 이면체
(삽각기둥과 같다)
Decagonal prism.png Spherical decagonal prism2.png Decagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,5}=tr{2,5}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
12 30 20
A5 다듬은 오각형 이면체
(엇오각기둥)
Pentagonal antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Pentagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  12 20 10
P5 Cantic 다듬은 오각형 이면체
(오각기둥)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{5,2}=t{2,5}
7 15 10

(6 2 2) D6h 이면체 대칭[편집]

기본 삼각형은 24개가 있다.

# 이름 그림 타일링 꼭짓점
도형
콕서터
슐레플리
기호
위치에 있는 면 원소 수
Pos. 2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.png
[6]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
모서리 꼭짓점
D6 육각형 이면체 Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{6,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
H6 육각 호소헤드론 Hexagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,6}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
6 6 2
D12 깎은 육각형 이면체
(십이각형 이면체와 같다)
Dodecagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{6,2}
Regular polygon 10.svg
{12}
2 12 12
H6 깎은 육각 호소헤드론
(육각기둥과 같다)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
P12 부풀려 깎은 육각형 이면체
(십이각기둥과 같다)
Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,6}=tr{2,6}
Regular polygon 10.svg
{12}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
14 36 24
A6 다듬은 육각형 이면체
(엇육각기둥과 같다)
Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  14 24 12
P3 Cantic 육각형 이면체
(삼각기둥과 같다)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
h2{6,2}=t{2,3}
5 9 6
P6 Cantic 다듬은 육각형 이면체
(육각기둥과 같다)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{6,2}=t{2,6}
8 18 12
A3
[2]
다듬은 육각 호소헤드론
(엇삼각기둥과 같다)
(정팔면체와 같다)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,6}=sr{2,3}
8 12 6

같이 보기[편집]

참조[편집]

외부 링크[편집]