G₂

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G2는 가장 작은 예외적 단순 복소 리 군이다. 14차원이고, 두 개의 단순근을 지니고, 두 개의 실수 형식(콤팩트, 갈린)을 지닌다. 7차원 표현을 지닌다. 그 콤팩트 실수 형식은 팔원수자기동형사상군이다.

정의[편집]

G2콤팩트 실수 형식은 팔원수자기동형사상군이다. 팔원수 대수 \mathbb O자기동형사상은 다음을 만족하는 \mathbb R-선형사상 \phi\colon\mathbb O\to\mathbb O를 말한다.

\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)

팔원수 자기동형사상군 \operatorname{Aut}(\mathbb O)는 G2의 컴팩트 실수 형식과 동형이라는 사실을 보일 수 있다. 이로부터, (\phi(1)=1이고, 팔원수 노름을 보존하므로) G2의 컴팩트 형식은 SO(7)의 부분군임을 알 수 있고, 이에 따라 7차원 기본표현이 존재함을 알 수 있다.

G2리만 다양체홀로노미의 분류에 등장한다. 즉, G2홀로노미 군으로 가지는, 대칭공간이 아닌 7차원 리만 다양체가 존대한다. 이는 위와 같이 G2SO(7)의 부분군인 사실과 관련이 있다.

실수 형식[편집]

G2는 두 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호 다른 기호 설명 기본군 외부자기동형군
G2(−14) 콤팩트 형식 1 1
G2(2) GI 갈린(split) 형식 \mathbb Z/2\mathbb Z 1

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G2근계.

G2은 2차원 벡터로 쓸 수 있지만, 3차원 벡터로 쓰는 것이 더 편하다. 이 경우, 근은 다음과 같다.

(1,−1,0), (−1,1,0)
(1,0,−1), (−1,0,1)
(0,1,−1), (0,−1,1)
(2,−1,−1), (−2,1,1)
(1,−2,1), (−1,2,−1)
(1,1,−2), (−1,−1,2)

이 가운데 단순근은 여러가지로 잡을 수 있다. 한 가지 방법은 다음과 같다.

(0,1,−1), (1,−2,1)
Graph of G2 as a subgroup of F4 and E8 projected into the Coxeter plane

그 바일(Weyl) 군은 정이면체군 D6이다. 그 카르탕 행렬은 다음과 같다.


\left [
\begin{matrix}
\;\,\, 2&-3\\
-1&\;\,\, 2
\end{matrix}\right ]

표현[편집]

G2기약표현의 차원은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A104599).

1, 7, 14, 27, 64, 77 (두 개), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (두 개), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (두 개), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

참고 문헌[편집]