E₈

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리 군론에서, E8은 복소수 예외적 단순 리 군 가운데 가장 큰 것이다.[1][2] 다른 모든 예외적 단순 복소 리 군을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해(split), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.

정의[편집]

E8은 다양한 방법으로 정의할 수 있다.

SO(16)을 통한 정의[편집]

E8리 대수 \mathfrak e_8은 다음과 같이 정의할 수 있다.[3] \mathfrak e_8의 고전적인 부분 리 대수 가운데 가장 큰 것은 \mathfrak{so}(16)이므로, 이를 써서 정의하자. 𝔬(16)의 생성원을 J_{ij}로 표현하자. 스핀 군 Spin(16)의 마요라나-바일 스피너 Q_a는 128차원이다. 이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.

[J_{ij},J_{k\ell}]=\delta_{jk}J_{i\ell}-\delta_{j\ell}J_{ik}-\delta_{ik}J_{j\ell}+\delta_{i\ell}J_{jk}
[J_{ij},Q_a] = \frac 14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b,

여기서 \gamma_i는 16차원 디랙 행렬이다. 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.

[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}.

이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기 동형군으로 정의할 수 있다.

기타 정의[편집]

E8팔원수를 사용하여 정의할 수 있다.[4]:§4.6

15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.[5]

실수 형식[편집]

E8은 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호 다른 기호 설명 기본군 외부자기동형군
E8(−248) 콤팩트 형식 1 1
E8(8) EVIII 갈린(split) 형식 \mathbb Z/2\mathbb Z 1
E8(−24) EIX \mathbb Z/2\mathbb Z 1

성질[편집]

대수적 성질[편집]

E8의 주요 극대 부분군들은 다음을 들 수 있다.

  • (E_7\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2).[2]:§5.7 이는 E8\mathbb Z/2 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
    \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad{\scriptstyle\otimes}
  • \operatorname{Spin}(16)/(\mathbb Z/2).[2]:§5.7 이는 E8의 또다른 \mathbb Z/2 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
    \circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}
  • (E_6\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3).[2]:§5.10 이는 E8\mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
    \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet\qquad\bullet-{\scriptstyle\otimes}
  • \operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3).[2]:§5.11 이는 E8의 또다른 \mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
    \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}
  • (\operatorname{SU}(5)\times\operatorname{SU}(5))/(\mathbb Z/5).[2]:§5.12 이는 E8\mathbb Z/5 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
    \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet\qquad\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}

위상수학적 성질[편집]

E8의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.[6]

\pi_3(E_8)\cong\pi_{15}(E_8)\cong\mathbb Z
\pi_n(E_8)\cong0,\qquad n<15,n\ne3

근계[편집]

E8의 8차원 근계를 2차원으로 사영한 것. E8의 240개의 근들은 고른 폴리토프 421을 이룬다.

E8근계는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E8의 SO(16) 부분군을 사용하면, E8 근계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • 다음과 같은 꼴의 2\cdot\textstyle\binom82+8\cdot7=112개의 근 (이는 SO(16) 근계를 이룬다):
    (\pm1,\pm1,0,0,0,0,0,0)의 모든 순열 (복부호 동순일 필요 없음)
  • 다음과 같은 꼴의 2^8/2=128개의 근 (이는 SO(16)의 128 스피너 표현의 무게를 이룬다):
    \left(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12\right) (복부호 동순일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 것들

E8의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 고른 폴리토프 421의 꼭짓점을 이룬다.

E8바일 군은 크기가 214×35×52×7=696729600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

\operatorname{Weyl}(E_8)\cong\operatorname O^+(8;\mathbb F_2)

이는 2차 순환군 \mathbb Z/2를 크기가 174182400인 유일한 단순군 \operatorname{PS\Omega}^+(8;\mathbb F_2)확대한 뒤, 다시 2차 순환군 \mathbb Z/2확대한 것이다.[7]:85

E8딘킨 도표는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 (영어: simply laced). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.

\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet

E8아핀 딘킨 도표는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 \scriptstyle\otimes로 표기한 꼭짓점이 추가된다.

\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\scriptstyle\otimes

표현론[편집]

E8기약 표현의 차원은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121732).[8]:113, Table 53

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960…

E8바일 군v\mapsto-v를 포함하므로, E8은 복소수 표현을 갖지 않으며, 또한 E8의 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E8사원수 표현을 갖지 않는다.

E8기본 표현248, 3875, 30380 , 147250, 6696000, 2450240, 146325270, 6899079264이다. 이 가운데 가장 작은 248딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.[8]:112, Table 53

\mathbf{3875}-\mathbf{6696000}-\overset{{\displaystyle\mathbf{147250}\atop\displaystyle|}}{\mathbf{6899079264}}-\mathbf{146325270}-\mathbf{2450240}-\mathbf{30380}-\mathbf{248}

E8의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.[8]:112, Table 53

\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{133},\mathbf1)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf1,\mathbf3)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{56},\mathbf2)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}
\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{78},\mathbf1)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf1,\mathbf8)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf{27}},\overline{\mathbf3})_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}
\mathbf{248}_{E_8}\to\mathbf{120}_{\operatorname{SO}(16)}\oplus\mathbf{128}_{\operatorname{SO}(16)}
\mathbf{248}_{E_8}\to\mathbf{80}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\mathbf{84}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\overline{\mathbf{84}}_{\operatorname{SU}(9)}
\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{24},\mathbf1)_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf1,\mathbf{24})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf5,\overline{\mathbf{10}})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf5},\mathbf{10})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf{10},\mathbf5)_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf{10}},\overline{\mathbf5})_{\operatorname{SU}(5)^2}

대수기하학적 성질[편집]

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 \mathfrak e_8(\mathbb Z) 및 군 E_8(\mathbb Z)을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 R에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 \mathbb F_q에 대한 계수의 슈발레 군 E_8(\mathbb F_q)의 크기는 다음과 같다.

|E_8(\mathbb F_q)|=q^{120}(q^{30}-1)(q^{24}-1)(q^{20}-1)(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^8-1)(q^2-1)

이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A008868)

|E_8(\mathbb F_2)|\approx3.38\times10^{74}
|E_8(\mathbb F_3)|\approx1.88\times10^{118}

|E_8(\mathbb F_2)|는 이미 괴물군보다 더 크며, 이는 [7] 에 수록된 마지막 군이다.

역사[편집]

빌헬름 킬링이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지 않았다. 엘리 카르탕이 1894년 박사 학위 논문[9] 에서 그 존재를 엄밀히 증명하였으며, E8이 세 실수 형식을 지님을 보였다.

응용[편집]

잡종 끈 이론변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E8×E8게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E8은 E6, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형대통일 이론을 재현할 수 있다. 이를 축소화하면 두 E8 가운데 하나는 자연스럽게 E6로 깨지게 된다.

참고 문헌[편집]

  1. Adams, John Frank (1996년 12월). 《Lectures on exceptional Lie groups》 (영어). Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-00526-3. MR 1428422. 
  2. Yokota, Ichiro (2009년 2월). “Exceptional Lie groups” (영어). arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y. 
  3. Green, Schwarz, and Witten, Superstring Theory, 1987.
  4. Baez, John (2002). “The octonions”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 39 (2): 145–205. arXiv:math/0105155. Bibcode:2001math......5155B. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087. Zbl 1026.17001.  오류 정정 Baez, John (2005). “Errata for "The octonions"”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 42 (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9. 
  5. Figueroa-O’Farrill, José (2008년 11월). “A geometric construction of the exceptional Lie algebras F4 and E8”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 283 (3): 663–674. arXiv:0706.2829. Bibcode:2008CMaPh.283..663F. doi:10.1007/s00220-008-0581-7. 
  6. Kachi, Hideyuki (1968). “Homotopy groups of compact Lie groups E_6, E_7 and E_8. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 32: 109–139. MR 0233924. Zbl 0159.24802. 
  7. Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985). 《Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0. 
  8. Slansky, Richard (1981년 12월). “Group theory for unified model building”. 《Physics Reports》 (영어) 79 (1): 1–128. Bibcode:1981PhR....79....1S. doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2. 
  9. Cartan, Élie (1894). “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus” (프랑스어). 파리 대학교 박사 학위 논문. Librairie Nony et Cie. JFM 25.0638.02. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]