리 대수 이론에서, 불변 다항식(不變多項式, 영어: invariant polynomial)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.
체
위의 유한 차원 리 대수
의 쌍대 공간
위의 대칭 대수
![{\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da17d4dd794bd77d73fc1730c7e2c7a3c843ab1)
를 생각하자.
가 다음 조건을 만족시킨다면,
의
차 불변 다항식이라고 한다.
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}\alpha (x_{0},x_{1},\dotsc ,[x_{i},x_{i+1}],\dotsc ,x_{n})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8c7e929a664d1d4a652025d76e10ab769b698e)
위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.
베유 대수[편집]
유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수
의 베유 대수(영어: Weil algebra)
는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며,
의 동차 원소 기저를
라고 할 때,
의 생성원은
및
이다 (
). 또한, 그 미분은 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathrm {d} t^{i}=\mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}+\delta t^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0025b67d3744379e4c91b50337ae196f25bdd36)
![{\displaystyle \mathrm {d} \delta t^{i}=-\delta \mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355e45d52b129d155ff3360c9ca601f235fa7753)
여기서
란 슈발레-에일렌베르크 대수
의 미분이다. 즉, 이는
을 따른다.
물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형
![{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0d5a9e2b2409fe17dca1c9f14012f35f5f55fb)
![{\displaystyle t^{i}\mapsto t^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcd6d07a1ec8f14bc3c47813744229c804aaef8)
![{\displaystyle \delta t^{i}\mapsto 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e62874e1e50a8c3e74a5cfdf170dad0f47cdc2)
이 존재한다.
L∞-대수의 불변 다항식[편집]
유한형 L∞-대수
의 불변 다항식은 베유 대수
의 원소
가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.[1]:Definition 4.1.13
![{\displaystyle \alpha \in \bigwedge \delta {\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2afafe346ad1d30283b7ba5a0dcb0889ebe4cb)
![{\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}\alpha =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67452c49b39122dd8acb921c615d38af1281b99a)
즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데,
만으로 생성되는 것이다.
이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다.
가 리 대수인 경우, 불변 다항식은
![{\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d924a9298103e90d1eb2307010fd791136cca1a2)
의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.
리 대수
에 대하여,
![{\displaystyle \operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29245a5bb96cd60170c72311c4b3b0bff5cb55e5)
는 리 군
의 분류 공간
![{\displaystyle \mathrm {B} G\leftarrow \mathrm {E} G\leftarrow G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0471fc05a9ba68d9120500f69f175c6b2194d0ed)
의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.
다시 말해,
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {E} G)={\begin{cases}0&\bullet \neq 0\\K&\bullet =0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb471e2b1b5af9734377c9efb6f619b5fa467c9a)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(G;K)=\operatorname {H} _{\text{LieAlg}}^{\bullet }({\mathfrak {g}};K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245f88a041949109ffc2bdfc0ca8600fa80dc56e)
![{\displaystyle \operatorname {inv} ^{\bullet }({\mathfrak {g}})=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {B} G;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e1e25a86f53c9ba5ccc554971a15384953fe6f)
이다. (
의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서
는 리 대수 코호몰로지이다.
체
위의 리 대수
의 킬링 형식
![{\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1780c62dc9821b1bb4ed3f0eb2af1c66457a98ec)
은 2차 불변 다항식이다. 즉,
![{\displaystyle B(x,[y,z])-B([x,y],z)=0\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35983111a9d917edfac63faea95d6c4f977fbd8)
이다.
단순 리 대수의 불변 다항식[편집]
계수
의 단순 리 대수는
개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.[2]:59, §3.7
단순 리 대수 |
불변 다항식의 차수
|
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280e637f662073f407d42ea37052b10cca71820c) |
2, 3, …, n+1
|
, ![{\displaystyle {\mathfrak {c}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e12d31aed57697bf426c931b8b0352ce2bc057) |
2, 4, 6, …, 2n
|
![{\displaystyle {\mathfrak {d}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826befb928a9d2377044fa41cb037a6737fb9763) |
2, 4, 6, …, 2n−2, n
|
![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f478652f321cdcdc6a3a0185a7beac54022adb) |
2, 5, 6, 8, 9, 12
|
![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f344b465718da83d20783caafaa659afc61ad644) |
2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
|
![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ae581bd92e06f5a31fb26d91f745d71941fc91) |
2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
|
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34638591485ad442df11e5fb2fff575eb02a78b) |
2, 6, 8, 12
|
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3018d455dacf6b043c8ac4f2bfcfceef4fffd5) |
2, 6
|
위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가
라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수
![{\displaystyle \deg x_{i}=2d_{i}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306b240b2c499279d4cb95be96b7315e01060e11)
의
개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,
![{\displaystyle \dim G=\sum _{i=1}^{r}(2d_{i}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03bffbb549533addb1701638d464ed9d8bdcb4c)
이다.
의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를
무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,
![{\displaystyle p_{k}(M)=\operatorname {tr} _{(n+1)\times (n+1)}(M^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f7c1aa2fc92e5e26eea0541b08de2fc69c4491)
이다. 만약
인 경우는 (행렬이 무대각합이므로)
이 되며,
인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.
의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭
행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.
![{\displaystyle p_{k}(M)=\operatorname {tr} (M^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d315e2990b0a41d7e58a2f923ff6c1ac958aee4)
이 경우
가 홀수일 때
이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다.
이 홀수일 때 불변 다항식들은
로 구성된다.
이 짝수일 때는 추가로
차 불변 다항식
![{\displaystyle q(M)=\epsilon ^{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dotsb i_{m}j_{m}}M_{i_{1}j_{1}}\dotsm M_{i_{m}j_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25184992bc5af3488a615df2ff09fb482a840f8)
이 존재한다.
외부 링크[편집]