리 군론에서 슈발레 기저(Chevalley基底, 영어: Chevalley basis)는 모든 구조 상수가 정수인, 반단순 리 대수의 특별한 기저이다. 이를 통해, 정수환 또는 임의의 가환환을 계수로 하는 반단순 리 대수의 형태를 정의할 수 있다.
표수 0의 대수적으로 닫힌 체
위의 반단순 리 대수
의 근계
![{\displaystyle \Phi \subseteq {\mathfrak {h}}=\mathbb {R} ^{\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abad3a69f0f282c5b6fc9e8630c074fb3d7eed6f)
를 고르자. 그렇다면, 근계의 기저의 지표를
라고 하면, 카르탕-베유 기저
![{\displaystyle [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }\qquad (\alpha \in \Phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558bef58b33ecde2cd37055e23f7fc5480c447d9)
![{\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8d32f1a80df904b21d33f702337372bc13c8c3)
![{\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]={\begin{cases}N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }&\alpha +\beta \in \Phi \\0&0\neq \alpha +\beta \not \in \Phi \\H_{i}&\alpha +\beta =0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2858f0edcb49647e434cfd0dfe16ba8d9c583fa3)
![{\displaystyle N_{\alpha ,\beta }\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db7972c335206addd1b11e9916313bf33f8f3eb)
를 잡을 수 있다.
그러나 이 기저에서의 구조 상수
는 일반적으로 정수가 아니다.
이제,
의 단순근
![{\displaystyle \Sigma \subseteq \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0bdfc85411ec54d5c8c627436c65231b3ac39c)
![{\displaystyle |\Sigma |=\operatorname {rank} ({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c958cc76056833339e405cd7a1c5fb308cef085)
을 고르고, 그 카르탕 행렬이
![{\displaystyle A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })={\frac {2(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c89830d01af9e67d262c7ae11ab87093b656f1)
라고 하자. 이제,
의 다른 기저
![{\displaystyle {\tilde {H}}_{\sigma }=(\sigma _{i}^{\vee },H_{i})\qquad (\sigma \in \Sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20de50680f8eba46498c548c7c4b1403e9b83f6e)
를 정의하자. 그렇다면,
![{\displaystyle [{\tilde {H}}_{\sigma },{\tilde {H}}_{\sigma '}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fbfde59cf2fa152353b7d6e5329c6cddbc6313)
![{\displaystyle [{\tilde {H}}_{\sigma },E_{\alpha }]=A_{ij}E_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3569f57b26cd9fd10f10812819529cc327d70db5)
![{\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]={\begin{cases}N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }&\alpha +\beta \in \Phi \\0&0\neq \alpha +\beta \not \in \Phi \\\sum _{\sigma \in \Sigma }(\sigma ,\beta )H_{\sigma }&\alpha +\beta =0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc578b96775e3d492219f785122cb1752d69871)
가 되어, 모든 구조 상수가 정수가 된다. 이를
의 슈발레 기저라고 한다.
이에 따라, 위 리 괄호로 정의되는 정수 리 대수
를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 가환환
에 대하여,
-리 대수
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}(K)={\mathfrak {g}}(\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf013a907c73ff096d880fabba47326a041ecadc)
를 정의할 수 있다. 만약
일 경우, 이는 반단순 리 대수의 분할 형태(영어: split form)이다.
의 경우, 슈발레 기저는
![{\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2ef32007769829bac5edf99dbb5b3c40b6c307)
![{\displaystyle E_{+}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c4d29adfefaf5a5f5886f905a240ecb4f0f6a6)
![{\displaystyle E_{-}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96f4ff55a4e92792b86d371d5612176d6692fd4)
![{\displaystyle [E_{+},E_{-}]=H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e5c6ae05dbf039a628ba15e612ae2bb0330ab7)
![{\displaystyle [H,E_{\pm }]=\pm 2E_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cb669f32ca9a60c28696df7bfb08cbe20f284c)
이다.
즉, 이 경우 정수 계수를 취하면
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {Z} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc1362d57d75867c4d487b1a1039159d11ac4ea)
를 얻는다.
클로드 슈발레가 유한 단순군을 연구하기 위하여 도입하였다.
외부 링크[편집]