카르탕 행렬

수학에서, 카르탕 행렬(Cartan行列, 영어: Cartan matrix)은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다.

정의

정수 성분 정사각 행렬

$A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 카르탕 행렬이라고 한다.

• 모든 $i\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, $A_{ii}=2$
• 모든 $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $i\neq j$라면 $A_{ij}\leq 0$
• 모든 $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $A_{ij}=0$이라면 $A_{ji}=0$

딘킨 도표

카르탕 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 그래프 $\Gamma$

  $\operatorname {V} (\Gamma )=\{1,\dotsc ,n\}$

  $\operatorname {E} (\Gamma )=\{\{i,j\}\colon A_{ij}<0\}$

• 각 변 $\{i,j\}\in \operatorname {E} (\Gamma )$에 대하여, 양의 정수 순서쌍 $(|A_{ij}|,|A_{ji}|)$

이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.

분류

$n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;R)$에 대하여, 만약

$M_{ij}=0\;\forall i\in I,\;j\in \{1,\dotsc ,n\}\setminus J$

인 $\varnothing \neq I\subsetneq \{1,\dotsc ,n\}$가 존재하지 않는다면, $M$을 분해 불가능 행렬(영어: indecomposable matrix)이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.

분해 불가능 카르탕 행렬 $A$ 가운데, 다음과 같이 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 대칭화 가능 카르탕 행렬(영어: symmetric Cartan matrix)이라고 한다.

$A=DS$, $D,S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$

$S_{ij}=S_{ji}$

$D=\operatorname {diag} (D_{11},\dotsc ,D_{nn})$

이 경우, 항상 $D_{ij}$의 대각선 성분을 양의 정수로, $S_{ij}$의 성분을 유리수로 잡을 수 있다.

증명:

분해 가능 대칭화 가능 카르탕 행렬은 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬들의 직합이므로, 분해 불가능인 경우만 고려하면 족하다.

$A$가 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬이라고 하고, 그 분해를

$A=DS$

$D,S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$

라고 하자. 이제, 각 $i\in \{1,\dotsc ,n\}$에 대하여, $2=A_{ii}=D_{i}S_{ii}$이므로 $D_{ii}\neq 0$이다.

이제, 각 $i,j\in \{1,\dotsc ,n\}$에 대하여, 만약 $A_{ij}\neq 0$이라면,

$D_{i}/D_{j}=A_{ij}/A_{ji}\in \mathbb {Q} ^{+}$

이다. 분해 불가능 조건에 따라, 이 값들은 $(D_{11},\dotsc ,D_{nn})$의 사영 동치류를 결정하며, 성분의 비가 모두 양의 유리수이므로 이 동치류는 양의 정수 성분의 대표원

${\tilde {D}}=aD\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} ^{+})$

$a\in \mathbb {R} ^{\times }$

을 갖는다. 이 경우

${\tilde {S}}=a^{-1}S$

를 놓으면

$A={\tilde {D}}{\tilde {S}}$

이다. 또한,

${\tilde {S}}_{ij}={\frac {A_{ij}}{{\tilde {D}}_{ii}}}\in \mathbb {Q}$

이므로,

${\tilde {S}}\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Q} )$

이다.

대칭화 가능 카르탕 행렬은 $n$개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 $A$들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.

• 만약 $A$의 고윳값이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 유한형 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 단순 리 대수와 일대일 대응한다.
• 만약 $A$의 고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.
• 만약 $A$의 고윳값이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.

예

1×1 카르탕 행렬은

$A={\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}$

밖에 없다.

2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.

$A={\begin{pmatrix}2&a\\b&2\end{pmatrix}}$

2×2의 경우, 만약 $a,b\neq 0$이라면 항상

$A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/a&1\\1&2/b\end{pmatrix}}$

으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. $A$의 고윳값은

$\lambda _{\pm }=2\pm {\sqrt {ab}}$

이다.

이 경우,

• 유한형 카르탕 행렬은 ($a\leq b$라고 놓으면) $(a,b)\in \{(0,0),(-1,-1),(-2,-1),(-3,-1)\}$이다. 이들은 각각 반단순 리 대수 ${\mathfrak {a}}_{1}\oplus {\mathfrak {a}}_{1}$, ${\mathfrak {a}}_{2}$, ${\mathfrak {b}}_{2}={\mathfrak {c}}_{2}$, ${\mathfrak {g}}_{2}$에 대응된다.
• 아핀 카르탕 행렬은 ($a\leq b$라고 놓으면) $(a,b)\in \{(-4,-1),(-2,-2)\}$이다. 이들은 각각 아핀 리 대수 ${\mathfrak {a}}_{1}^{(1)}$ 및 ${\mathfrak {a}}_{2}^{(2)}$에 해당한다.

역사

엘리 카르탕의 이름을 땄으나, 이름과 달리 빌헬름 킬링이 최초로 사용하였다.

외부 링크

• “Cartan matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Rowland, Todd. “Cartan matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.