아핀 리 대수

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수학에서, 아핀 리 대수(affine Lie algebra)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한차원 복소 리 대수다. 물리학등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

정의[편집]

\mathfrak g가 유한 차원 단순 리 대수라고 하자. \mathfrak g 위에는 일종의 계량 텐서킬링 형식 \langle|\rangle\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb R이 존재한다.

아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}벡터 공간으로서 다음과 같다.

\hat{\mathfrak g}=\mathfrak g^{\mathbb C}[[z]]\oplus\mathbb Ck.

즉, \mathfrak g의 복소화 \mathfrak g^{\mathbb C}의 계수를 가진 로랑 다항식 \mathfrak g^{\mathbb C}[[z]]중심확대 k를 더한 것이다. 물리학적으로 \mathfrak g^{\mathbb C}[[z]]는 대칭의 보존류들을 나타내고, k는 대칭의 변칙을 나타낸다.

\hat{\mathfrak g} 위에 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. a,b\in\mathfrak g라고 하면,

[az^m,bz^n]=[a,b]z^{m+n}+\delta_{m+n,0}m\langle a|b\rangle k
[k,a]=[k,k]=0

이다.

아핀 카츠-무디 대수(affine Kač–Moody algebra)는 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}에 다음과 같은 원소 d를 더한 것이다.

[d,az^m]=maz^{m-1}
[d,d]=0.

(아핀 카츠-무디 대수와 아핀 리 대수를 구별하지 않는 저자들도 있다.)

뒤틀린 아핀 리 대수[편집]

위와 같은 경우, \mathfrak g^{\mathbb C}[[z]]를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, z=\exp(i\theta)로 놓으면, \mathfrak g^{\mathbb C}[[z]]를 주기적 함수 S^1\to\mathfrak g^{\mathbb C}로 해석할 수 있다. 즉, a(0)=a(2\pi)의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 \mathfrak g가 자명하지 않은 자기동형사상 \sigma\in\operatorname{Aut}(\mathfrak g)를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.

\sigma a(0)=a(2\pi).

이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수(twisted affine Lie algebra)라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수(twisted Kač–Moody algebra)를 정의할 수 있다.

아핀 리 대수의 딩킨 도표[편집]

유한 차원 단순 복소 리 대수딩킨 도표로 분류하는 것처럼, 아핀 리 대수도 단순 리 대수에 꼭지점을 하나 더한 딩킨 도표로 분류할 수 있다. 이러한 딩킨 도표를 아핀 딩킨 도표(affine Dynkin diagram)라고 한다. 다음과 같다.

아핀 딩킨 도표 목록
Affine Dynkin diagrams.png
비틀리지 않은 아핀 딩킨 도표들. 새로 추가한 꼭지점은 녹색이다.
Twisted affine Dynkin diagrams.png
비틀린 아핀 딩킨 도표들.

참고 문헌[편집]

  • Di Francesco, P. (1997). 《Conformal Field Theory》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94785-X
  • Fuchs, Jurgen (1992). 《Affine Lie Algebras and Quantum Groups》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
  • Goddard, Peter (1988). 《Kac-Moody and Virasoro algebras: A Reprint Volume for Physicists》, Advanced Series in Mathematical Physics 3. World Scientific. ISBN 9971-5-0419-7
  • Kac, Victor (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》, 3, Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8
  • Kohno, Toshitake (1998). 《Conformal Field Theory and Topology》. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2130-X
  • Andrew Pressley, Graeme Segal (1986). 《Loop groups》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853535-X

바깥 고리[편집]