아핀 리 대수

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비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.
비틀린 아핀 딘킨 도표들.

리 대수 이론에서, 아핀 리 대수(affine Lie代數, 영어: affine Lie algebra)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한차원 복소 리 대수다.[1][2] 물리학등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

정의[편집]

아핀 리 대수카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 A양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 \mathfrak gn+1개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 (n+1)\times(n+1) 정사각 행렬이며 그 계수l이다.

콕서터 수와 쌍대 콕서터 수[편집]

아핀 리 대수 \mathfrak g의 단순근들이 \alpha_0,\dots,\alpha_n이며, 단순 쌍대근들이 \alpha_0^\vee,\dots,\alpha_n^\vee라고 하자. 콕서터 라벨(영어: Coxeter label) a_i쌍대 콕서터 라벨(영어: dual Coxeter label) a_i^\vee는 카르탕 행렬 A에 대하여

0=a^\top A=Aa^\vee

를 만족시키는 벡터이다.[2]:96, (2.1.16) 이 경우, aa^\vee의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 콕서터 수(영어: Coxeter number) h쌍대 콕서터 수(영어: dual Coxeter number) h^\vee는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.

h=\sum_{i=0}^na_i
h^\vee=\sum_{i=0}^na_i^\vee

아핀 리 대수 \mathfrak g표준 중심 원소(영어: canonical central element) k\in\mathfrak h는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g의 원소이다.

k=\sum_{i=0}^na_i^\vee\alpha_i^\vee

그렇다면, \mathfrak g의 중심은 1차원 부분 대수

\operatorname Z(\mathfrak g)=\mathbb Ck

이다. 마찬가지로,

\delta=\sum_{i=0}^na_i\alpha_i

를 정의하자.

기본 단순 리 대수[편집]

단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, \mathfrak g축척 원소(영어: scaling element) d\in\mathfrak h는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.

\langle\alpha_i,d\rangle=\delta_{i,0}

축척 원소를 선택하였다면, \mathfrak g와 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.

\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g]\oplus\mathbb Cd
\mathfrak h=\operatorname{Span}\{\alpha_0^\vee,\dots,\alpha_r^\vee,d\}

\mathfrak h에서, kd에 수직이 되는 부분 공간을 \stackrel\circ{\mathfrak h}라고 하자.

\mathfrak h=\stackrel\circ{\mathfrak h}\oplus\mathbb Ck\oplus\mathbb Cd

아핀 리 대수 \mathfrak g의 슈발레 생성원을

(e_0,f_0),\dots,(e_n,f_n)

이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 \mathfrak g기본 단순 리 대수(영어: underlying simple Lie algebra) \stackrel\circ{\mathfrak g}\subsetneq\mathfrak g\stackrel\circ{\mathfrak h}(e_1,f_1),\dots,(e_n,f_n)로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 카르탕 부분 대수는 \stackrel\circ{\mathfrak h}이며, 그 근계 및 쌍대 근계는

\stackrel\circ\Delta=\Delta\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}^*
\stackrel\circ\Delta^\vee=\Delta^\vee\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}

이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각

\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}
\{\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_n^\vee\}

이다.

성질[편집]

아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

근계의 구조[편집]

아핀 리 대수 \mathfrak g의 기본 단순 리 대수가 \stackrel\circ{\mathfrak g}라고 하자. r가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, \tilde D_4^{(3)}의 경우, r=3이다. 그렇다면, \mathfrak g의 실근들의 집합 \Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)는 구체적으로 다음과 같다.[1]:83, Proposition 6.3a,b,c

\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=\begin{cases}
\stackrel\circ\Delta+\mathbb Z\delta&r=1\\
(\stackrel\circ\Delta_\text{short}+\mathbb Z\delta)\cup(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+r\mathbb Z\delta)&r\in\{2,3\},\;\mathfrak g\not\cong A_{2n}^{(2)}\\
\frac12\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+(2\mathbb Z-1)\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{short}}+\mathbb Z\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+2\mathbb Z\delta\right)
&\mathfrak g\cong A_{2n}^{(2)}
\end{cases}

\mathfrak g의 허근들의 집합 \Delta^{\text{im}}(\mathfrak g)는 다음과 같다.[1]:64, Theorem 5.6b

\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=(\mathbb Z\setminus\{0\})\delta

(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, \delta는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.[1]:64, Theorem 5.6b

\Delta^{\text{re},+}(\mathfrak g)=\mathbb Z^+\delta

바일 군[편집]

아핀 리 대수 \mathfrak g바일 군 W은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 \stackrel\circ{\mathfrak g}의 바일 군 \stackrel\circ W로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]:88, Proposition 6.5

W=\stackrel\circ\rtimes M

여기서

M=\begin{cases}\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta&r=1\\
\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta^\vee&r\in\{2,3\}
\end{cases}

\stackrel\circ{\mathfrak h} 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 \circ{\mathfrak h}\cong\circ{\mathfrak h}^*를 암묵적으로 사용하였다.

구성[편집]

\stackrel\circ{\mathfrak g}가 유한 차원 단순 복소수 리 대수라고 하자. \stackrel\circ{\mathfrak g} 위에는 킬링 형식

\langle|\rangle\colon\stackrel\circ{\mathfrak g}\times\stackrel\circ{\mathfrak g}\to\mathbb R

이 존재한다.

아핀 리 대수 \hat{\mathfrak g}벡터 공간으로서 다음과 같다.

\hat{\mathfrak g}=\stackrel\circ{\mathfrak g}[[z]]\oplus\mathbb Ck\oplus\mathbb Cd.

즉, \stackrel\circ{\mathfrak g}의 계수를 가진 로랑 다항식 \mathfrak g^{\mathbb C}[[z]]중심확대 k를 더한 것이다. 물리학적으로 \stackrel\circ{\mathfrak g}[[z]]는 대칭의 보존류들을 나타내고, k는 대칭의 변칙을 나타낸다.

\hat{\mathfrak g} 위에 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. a,b\in\stackrel\circ{\mathfrak g}라고 하면,

[az^m,bz^n]=[a,b]z^{m+n}+\delta_{m+n,0}m\langle a|b\rangle k
[k,a]=[k,k]=0
[d,az^m]=maz^{m-1}
[d,d]=0

뒤틀린 아핀 리 대수[편집]

\stackrel\circ{\mathfrak g}[[z]]를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, z=\exp(i\theta)로 놓으면, \stackrel\circ{\mathfrak g}[[z]]를 주기적 함수 S^1\to\stackrel\circ{\mathfrak g}로 해석할 수 있다. 즉, a(0)=a(2\pi)의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 \stackrel\circ{\mathfrak g}가 자명하지 않은 자기동형사상 \sigma\in\operatorname{Aut}(\stackrel\circ{\mathfrak g})를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.

\sigma a(0)=a(2\pi).

이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수(twisted affine Lie algebra)라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수(twisted Kač–Moody algebra)를 정의할 수 있다.

분류[편집]

단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 \Delta에서, \delta를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (\tilde A_{2n}^{(2)}의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 \sqrt2로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 A_{ij}A_{ji}=4인 경우)는 \xrightarrow4\stackrel4\leftrightarrow로 표기하였다. 이 경우 A_{ij}=A_{ji}=-2인 경우는 \stackrel4\leftrightarrow이며, A_{ij}=-1,\;A_{ji}=--4인 경우는 \xrightarrow4이다.

기호
[1]:53–55
타 기호
[3]:24
타 기호
[4]:6–12
타 기호
[2]:94–95
바일 군 궤도 수 긴 실근의
동치류 수
짧은 실근의
동치류 수
딘킨 도표 콕서터 라벨
[2]:94–95
쌍대 콕서터 라벨
[2]:94–95[3]:24–25
콕서터 수[1]:80 쌍대 콕서터 수[1]:80
\tilde A_1 A_1^u=A_1^t A_1 A_1^{(1)} 2 2 0 \bullet\stackrel4\leftrightarrow\bullet 1\stackrel4\leftrightarrow1 2
\tilde A_n
(n\ge2)
A_n^u=A_n^t A_n A_n^{(1)} 1 n(n+1) 0 \bullet<{\bullet-\cdots-\bullet\atop\bullet-\cdots-\bullet}>\bullet 1<{1-\cdots-1\atop1-\cdots-1}>1 n+1
\tilde B_n B_n^u B_n B_n^{(1)} 2 2n(n-1) 2n (길이 1) \bullet\Leftarrow\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet} 2\Leftarrow2-\cdots-2<{1\atop1} 1\Leftarrow2-\cdots-2<{1\atop1} 2n 2n-1
\tilde C_n C_n^u C_n C_n^{(1)} 3 2n 2n(n-1) (길이 1) \bullet\Rightarrow\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\Leftarrow\bullet 1\Rightarrow2-2-\cdots-2-2\Leftarrow1 1\Rightarrow1-1-\cdots-1-1\Leftarrow1 2n n+1
\tilde D_n D_n^u=D_n^t D_n D_n^{(1)} 1 2n(n-1) 0 {\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet} {1\atop1}>2-2-\cdots-2<{1\atop1} 2n-2
\tilde E_6 E_6^u=E_6^t E_6 E_6^{(1)} 1 72 0 {\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet {1-2\atop1-2}>3-2-1 12
\tilde E_7 E_7^u=E_7^t E_7 E_7^{(1)} 1 126 0 {\bullet-\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet {1-2-3\atop1-2-3}>4-2 18
\tilde E_8 E_8^u=E_8^t E_8 E_8^{(1)} 1 240 0 {\bullet\atop{}}{-\atop{}}{\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet {2\atop{}}{-\atop{}}{4\atop3}>6-5-4-3-2-1 30
\tilde F_4 F_4^u F_4 F_4^{(1)} 2 24 24 (길이 1) \bullet-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet 1-2-3\Rightarrow4-2 1-2-3\Rightarrow2-1 12 9
\tilde G_2 G_2^u G_2 G_2^{(1)} 2 6 6 (길이 \sqrt{2/3}) \bullet-\bullet\Rrightarrow\bullet 1-2\Rrightarrow3 1-2\Rrightarrow1 6 4
\tilde A_{2n-1}^{(2)} C_n^t B_n^\vee C_n^{(2)} 3 2n 2n(n-1) (길이 1) \bullet\Rightarrow\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet} 1\Rightarrow2-\cdots-2<{1\atop1} 2\Rightarrow2-\cdots-2<{1\atop1} 2n-1 2n
\tilde A_2^{(2)} BC_1^m BC_1 \tilde B_1^{(2)} 2 2 2 (길이 1/\sqrt2) \bullet\xrightarrow4\bullet 1\xrightarrow42 2\xrightarrow41 3
\tilde A_{2n}^{(2)}
(n\ge2)
BC_n^m BC_n \tilde B_n^{(2)} 3 2n 2n(n-1) (길이 1)
2n (길이 1/\sqrt2)
\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet 1\Rightarrow2-2-\cdots-2-2\Rightarrow2 2\Rightarrow2-2-\cdots-2-2\Rightarrow1 2n+1
\tilde D_4^{(3)} G_2^t G_2^\vee G_2^{(3)} 2 6 6 (길이 \sqrt{2/3}) \bullet-\bullet\Lleftarrow\bullet 1-2\Lleftarrow1 1-2\Lleftarrow3 4 6
\tilde D_{n+1}^{(2)} B_n^t C_n^\vee B_n^{(2)} 2 2n(n-1) 2n (길이 1) \bullet\Leftarrow\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet 1\Leftarrow1-1-\cdots-1-1\Rightarrow1 1\Leftarrow2-2-\cdots-2-2\Rightarrow1 n+1 2n
\tilde E_6^{(2)} F_4^t F_4^\vee F_4^{(2)} 2 24 24 (길이 1) \bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet-\bullet 1-2\Rightarrow3-2-1 2-4\Rightarrow3-2-1 9 12

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

Ãn[편집]

n\ge2일 경우, \tilde A_n의 카르탕 행렬은 다음과 같은 (n+1)\times(n+1) 대칭 정사각 행렬이다.

\operatorname{Cartan}(\tilde A_n)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & \cdots  & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1\\
-1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{pmatrix}

\tilde A_1의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname{Cartan}(\tilde A_1)=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}

\tilde A_n의 딘킨 도형은 n\ge2일 경우 n+1개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

Ã2n(2)[편집]

n\ge2일 때, \tilde A_{2n}^{(2)}의 카르탕 행렬은 다음과 같은 (n+1)\times(n+1) 비대칭 정사각 행렬이다.

\operatorname{Cartan}(\tilde A_{2n}^{(2)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 &  \cdots & 0 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & -1 &  \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 &   \dots  & 0& 0 &  0 \\
\vdots & \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots& \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1& 2& -1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -2 & 2
\end{pmatrix}

여기서 행·열 0,1,\dots,n의 순서는 다음과 같다.

\alpha_0\Rightarrow\alpha_1-\cdots-\alpha_{n-1}\Rightarrow\alpha_n

\tilde A_2^{(2)}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname{Cartan}(\tilde A_2^{(2)})
=\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.

\alpha_0\xrightarrow4\alpha_1

2와 D̃4(3)[편집]

\tilde G_2의 근계. 여기서 \alpha=\alpha_2G_2의 유일한 짧은 근, \beta=\alpha_1G_2의 유일한 긴 근이며, \gamma=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2=\delta이다. 양근은 붉은 색으로, 음은은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사 \psi_\alpha, \psi_\beta, \psi_\gamma\tilde G_2의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본방(영어: fundamental chamber)는 직각삼각형 \mathcal C이다.

\tilde G_2의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname{Cartan}(\tilde G_2)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-1\\
0 & -3&2 \end{pmatrix}

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

\alpha_0-\alpha_1\Rrightarrow\alpha_2

이다.

\tilde D_4^{(3)}의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

\operatorname{Cartan}(\tilde D_4^{(3)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-3\\
0 & -1&2 \end{pmatrix}

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

\alpha_0-\alpha_1\Lleftarrow\alpha_2

이다.

참고 문헌[편집]

  1. Kac, Victor G. (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》 (영어) 3판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 978-0-521-37215-2. MR 1104219. Zbl 0716.17022. 
  2. Fuchs, Jürgen A. (1995년 3월). 《Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-052148412-1. MR 1337497. Zbl 0952.17016. 
  3. Nauta, Jan S. (2012년 4월 20일). 《Affine Lie algebras and affine root systems》 (영어). 석사 학위 논문. 암스테르담 대학교. 
  4. Macdonald, I. G. (2003). 《Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials》 (영어). Cambridge Tracts in Mathematics 157. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542824. ISBN 978-052182472-9. 
  • Di Francesco, P.; Mathieu, P.; Sénéchal, D. (1997). 《Conformal Field Theory》. Springer. ISBN 0-387-94785-X. 
  • Goddard, Peter; Olive, David (1988). 《Kac-Moody and Virasoro algebras: A Reprint Volume for Physicists》. Advanced Series in Mathematical Physics 3. World Scientific. ISBN 9971-5-0419-7. 
  • Kohno, Toshitake (1998). 《Conformal Field Theory and Topology》. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2130-X. 
  • Andrew Pressley, Graeme Segal (1986). 《Loop groups》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853535-X. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]