아핀 리 대수

비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.

비틀린 아핀 딘킨 도표들.

리 대수 이론에서, 아핀 리 대수(affine Lie代數, 영어: affine Lie algebra)는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다. 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.

정의

아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

• 아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 종류이다.
• 아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다.
• 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)이다.

이 정의들은 서로 동치이다.

카츠-무디 대수로서의 정의

아핀 리 대수는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 $A$가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 $n+1$개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 $(n+1)\times (n+1)$ 정사각 행렬이며 그 계수는 $l$이다.

대수적 구성

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 $({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} },\langle |\rangle \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{K}{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to \mathbb {C} )$. (만약 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다. 만약 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$가 아벨 리 대수라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)

그렇다면, 아핀 리 대수 ${\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$는 $K$-벡터 공간으로서 다음과 같다.

${\hat {\mathfrak {g}}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}$.

즉, ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$의 계수를 가진 로랑 다항식 ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]$에 중심 확대 ${\mathsf {k}}$를 더한 것이다. 물리학적으로 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]$는 대칭의 보존류들을 나타내고, ${\mathsf {k}}$는 대칭의 변칙을 나타낸다.

${\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$ 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. $a,b\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$라고 하면,

$[a{\mathsf {z}}^{m},b{\mathsf {z}}^{n}]=[a,b]{\mathsf {z}}^{m+n}+\delta _{m+n,0}m\langle a|b\rangle {\mathsf {k}}$

$[{\mathsf {k}},a{\mathsf {z}}^{n}]=[{\mathsf {k}},{\mathsf {k}}]=0$

${\mathsf {k}}$는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열

$0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\otimes \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0$

이 존재한다.

형식적 변수 ${\mathsf {z}}$ 대신, ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 정규 직교 기저 $g^{a}$를 잡아, 직접

$g_{m}^{a}=g^{a}{\mathsf {z}}^{m}$

를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.

$[g_{m}^{a},g_{n}^{b}]=f^{ab}{}_{c}g_{m+n}^{c}+\delta _{m+n,0}m\delta ^{ab}{\mathsf {k}}$

$[{\mathsf {k}},g_{m}^{a}]=0$

여기서 $f^{ab}{}_{c}$는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 구조 상수이다.

실수 형태

${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$가 실수 이차 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }$의 복소화라고 하자. 그렇다면, 복소수 아핀 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.

${\mathsf {z}}\mapsto {\mathsf {z}}^{-1}$

$\mathrm {i} \mapsto -\mathrm {i}$

${\mathsf {k}}\mapsto {\mathsf {k}}$

$x\mapsto x\qquad \forall x\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }$

즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(영어: antilinear) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점

${\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]+\mathbb {R} {\mathsf {k}}$

은 실수 리 대수를 이룬다.

미분 연산의 추가

복소수 벡터 공간

${\tilde {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }={\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}$

위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.

$[{\mathsf {d}},az^{m}]=-\mathrm {i} ma{\mathsf {z}}^{m}\qquad \forall a\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }$

$[{\mathsf {d}},{\mathsf {c}}]=0$

즉,

$[{\mathsf {d}},-]=-\mathrm {i} {\mathsf {z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {z}}}}$

이다. 만약 형식적으로 ${\mathsf {z}}=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})$로 놓는다면,

$[{\mathsf {d}},-]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {t}}}}$

가 된다.

또한,

$[{\mathsf {d}},a(z+z^{-1})]=-a\mathrm {i} (z-{\mathsf {z}}^{-1})$

$[{\mathsf {d}},\mathrm {i} a(z-z^{-1})]=a(z+{\mathsf {z}}^{-1})$

이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 ${\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }$에도 잘 정의된다.

뒤틀린 아핀 리 대수

${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]$를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, $z=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})$로 놓으면, ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]$를 주기적 함수 $\mathbb {S} ^{1}\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$로 해석할 수 있다. 즉, $a(0)=a(2\pi )$의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$가 자명하지 않은 자기 동형 $\sigma \in \operatorname {Aut} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})$를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.

$\sigma a(0)=a(2\pi )$.

이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수(twisted affine Lie algebra)라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수(twisted Kač–Moody algebra)를 정의할 수 있다.

아핀 리 대수의 기하학적 정의

아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.^{:824, §4.1}

구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간

$\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})$

을 정의할 수 있다. 이는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.

$\iota \colon \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subseteq \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

$\iota ({\mathsf {z}}^{n}\otimes x)\colon t\mapsto \exp(\mathrm {i} tn)x\qquad (x\in {\mathfrak {g}},\;t\in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} =\mathbb {S} ^{1})$

이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는

$\iota _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$

이다.

고리 리 대수 $\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.

$\alpha \colon \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\times \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathbb {R}$

$\alpha \colon (x,y)\mapsto {\frac {\delta ^{2}}{2\pi }}\int _{\mathbb {S} ^{1}}\langle x(t)|y(t)\rangle \,\mathrm {d} t$

여기서

• $\langle -|-\rangle$은 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$ 위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{*}$ 위의 비퇴화 이차 형식으로도 여길 수 있다.
• $\delta ^{2}$는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 $\langle -|-\rangle$에 따른 것이다.
• $\mathbb {S} ^{1}$의 측도 $\mathrm {d} t$에 따르면, $\textstyle \int _{\mathbb {S} ^{1}}\mathrm {d} t=2\pi$이다.

이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열

$0\to \mathbb {R} \to {\bar {\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to 0$

을 정의한다. 이 경우, ${\mathfrak {g}}$에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 ${\hat {\mathfrak {g}}}$는 자연스럽게 다음과 같이 ${\bar {\mathfrak {g}}}$의 부분 리 대수가 된다.

${\begin{matrix}0&\to &\mathbb {R} &\to &{\hat {\mathfrak {g}}}&\to &{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &\mathbb {R} &\to &{\bar {\mathfrak {g}}}&\to &\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}&\to &0\end{matrix}}$

리 군의 기하학적 정의

실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.^{:825, §4.1}

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 ${\stackrel {\circ }{G}}$와 그 실수 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.

$\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{G}})$

즉, 이는 ${\stackrel {\circ }{G}}$값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는 $\mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열

$1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}\to 1$

에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판 $\mathbb {D} ^{2}$를 생각하자. 이제,

$\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}=G_{\mathbb {D} ^{2}}/{\mathcal {G}}$

$G_{\mathbb {D} ^{2}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)$

${\mathcal {G}}=\{\alpha \in G_{\mathbb {D} ^{2}}\colon \alpha \upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{2}=1_{\stackrel {\circ }{G}}\}\cong {\mathcal {C}}_{\bullet }^{\infty }(\mathbb {S} ^{2},{\stackrel {\circ }{G}})$

이다. 여기서 ${\mathcal {G}}$는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, $G_{\mathbb {D} ^{2}}$ 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.

$\gamma \colon G_{\mathbb {D} ^{2}}\times G_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {R}$

$\gamma (g,h)={\frac {1}{4\pi \delta ^{2}}}\int _{\mathbb {D} ^{2}}\langle g^{-1}\mathrm {d} g|h^{-1}\mathrm {d} h\rangle$

여기서

• $\langle -|-\rangle$는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$ 위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 $\langle x,y\rangle =\operatorname {tr} (xy)$으로 여길 수 있다.
• $\delta ^{2}$는 $\langle -|-\rangle$에 따른, ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.

그렇다면,

$\exp(\mathrm {i} l\gamma (-,-))\colon G_{\mathbb {D} ^{2}}\times G_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {C} \qquad (l\in \mathbb {Z} )$

는 (자명한 계수의) ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)$의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 $G_{\mathbb {D} ^{2}}$의 중심 확대

$1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}\to G_{\mathbb {D} ^{2}}\to 1$

를 정의한다.

이제, 임의의 $\alpha \in {\mathcal {G}}$에 대하여,

$\iota _{l}\colon {\mathcal {G}}\to {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}$

$\iota _{l}\colon \alpha \mapsto \left(\alpha ,\exp \left({\frac {\mathrm {i} l}{12\pi \delta ^{2}}}\int _{\mathbb {D} ^{3}}\operatorname {tr} ({\bar {\alpha }}^{-1}\mathrm {d} {\bar {\alpha }})^{3}\right)\right)$

를 정의할 수 있다. 여기서

${\bar {\alpha }}\colon \mathbb {D} ^{3}\to {\stackrel {\circ }{G}}$

$({\bar {\alpha }}\upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{3})=\alpha$

는 $\alpha \colon \mathbb {S} ^{2}\to {\stackrel {\circ }{G}}$의, 3차원 공 $\mathbb {D} ^{3}$으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 ${\bar {\alpha }}$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, $\iota _{l}({\mathcal {G}})$는 ${\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}$의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군

${\hat {G}}_{l}={\frac {{\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}}{\iota _{l}({\mathcal {G}})}}$

을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열

$1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}_{l}\to \mathrm {L} G\to 1$

을 구성한다. (정수 $l\in \mathbb {Z}$은 ${\hat {\mathfrak {g}}}$의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, ${\hat {G}}_{l}$의 리 대수는 ($l\neq 0$일 경우, $l$의 값에 상관없이) ${\hat {\mathfrak {g}}}$이다.

성질

아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

콕서터 수와 쌍대 콕서터 수

아핀 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 단순근들이 $\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}$이며, 단순 쌍대근들이 $\alpha _{0}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }$라고 하자. 콕서터 라벨(영어: Coxeter label) $a_{i}$와 쌍대 콕서터 라벨(영어: dual Coxeter label) $a_{i}^{\vee }$는 카르탕 행렬 $A$에 대하여

$0=a^{\top }A=Aa^{\vee }$

를 만족시키는 벡터이다.^{:96, (2.1.16)} 이 경우, $a$ 및 $a^{\vee }$의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 콕서터 수(영어: Coxeter number) $h$와 쌍대 콕서터 수(영어: dual Coxeter number) $h^{\vee }$는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.

${\mathsf {h}}({\mathfrak {g}})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

${\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{\vee }$

아핀 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 표준 중심 원소(標準中心元素, 영어: canonical central element) $k\in {\mathfrak {h}}$는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$의 원소이다.

$k=\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{\vee }\alpha _{i}^{\vee }$

그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 중심은 1차원 부분 대수

$\operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\mathbb {C} {\mathsf {k}}$

이다. 마찬가지로,

$\delta =\sum _{i=0}^{n}a_{i}\alpha _{i}$

를 정의하자.

근계의 구조

아핀 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 기본 단순 리 대수가 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$라고 하자. $r$가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, ${\tilde {D}}_{4}^{(3)}$의 경우, $r=3$이다. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 실근들의 집합 $\Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})$는 구체적으로 다음과 같다.^{:83, Proposition 6.3a,b,c}

$\Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})={\begin{cases}{\stackrel {\circ }{\Delta }}+\mathbb {Z} \delta &r=1\\({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta )\cup ({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+r\mathbb {Z} \delta )&r\in \{2,3\},\;{\mathfrak {g}}\not \cong A_{2n}^{(2)}\\{\frac {1}{2}}\left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+(2\mathbb {Z} -1)\delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+2\mathbb {Z} \delta \right)&{\mathfrak {g}}\cong A_{2n}^{(2)}\end{cases}}$

${\mathfrak {g}}$의 허근들의 집합 $\Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})$는 다음과 같다.^{:64, Theorem 5.6b}

$\Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})=(\mathbb {Z} \setminus \{0\})\delta$

(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, $\delta$는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.^{:64, Theorem 5.6b}

$\Delta ^{{\text{im}},+}({\mathfrak {g}})=\mathbb {Z} ^{+}\delta$

기본 단순 리 대수

단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, ${\mathfrak {g}}$의 축척 원소(영어: scaling element) $d\in {\mathfrak {h}}$는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.

$\langle \alpha _{i},d\rangle =\delta _{i,0}$

축척 원소를 선택하였다면, ${\mathfrak {g}}$와 그 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.

${\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}$

${\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} \{\alpha _{0}^{\vee },\dots ,\alpha _{r}^{\vee },d\}$

${\mathfrak {h}}$에서, $k$ 및 $d$에 수직이 되는 부분 공간을 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}$라고 하자.

${\mathfrak {h}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}$

아핀 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 슈발레 생성원을

$(e_{0},f_{0}),\dots ,(e_{n},f_{n})$

이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 기본 단순 리 대수(영어: underlying simple Lie algebra) ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subsetneq {\mathfrak {g}}$는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}$ 및 $(e_{1},f_{1}),\dots ,(e_{n},f_{n})$로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 카르탕 부분 대수는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}$이며, 그 근계 및 쌍대 근계는

${\stackrel {\circ }{\Delta }}=\Delta \cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}^{*}$

${\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }=\Delta ^{\vee }\cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}$

이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각

$\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$

$\{\alpha _{1}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }\}$

이다.

바일 군

아핀 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 바일 군 $\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})$은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 바일 군 $\operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})$과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.^{:88, Proposition 6.5}

$\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})\rtimes M$

여기서

$M={\begin{cases}\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}&r=1\\\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }&r\in \{2,3\}\end{cases}}$

는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}$ 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 $\circ {\mathfrak {h}}\cong \circ {\mathfrak {h}}^{*}$를 암묵적으로 사용하였다.

표현론

${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 유한 차원 유니터리 표현

${\stackrel {\circ }{\rho }}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {u}}(n)$

이 주어졌으며, 자연수 $k\in \mathbb {N}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 ${\hat {\mathfrak {g}}}$에서, 포함 관계 $\iota \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}$에 대하여

${\stackrel {\circ }{\rho }}=\rho \circ \iota$

이며

$\rho ({\mathsf {k}})=k$

가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현

$\rho \colon {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathcal {L}}({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$

이 유일하게 존재한다.

스가와라 구성

단순 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 ${\hat {\mathfrak {g}}}=\mathbb {g} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {c}}$의 표현 $V$가 주어졌다고 하자.

이 경우, $V$에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.

${\mathsf {L}}_{n}={\frac {1}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }\eta _{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})\qquad (n\neq 0)$

${\mathsf {L}}_{0}={\frac {2}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum _{m=0}^{\infty }\eta _{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})$

${\mathsf {c}}={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}$

이를 스가와라 구성([菅原]構成, 영어: Sugawara construction)이라고 한다.^{:(4.15), §4.2} 여기서

• ${\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})$는 단순 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 이중 콕서터 수이다.
• $\eta _{ab}$는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식에 따라서 ${\mathfrak {g}}$의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
• ${\mathsf {k}}$는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
• 합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
• ${\mathsf {L}}_{0}$의 정의가 특별한 것은 표준 순서를 가했기 때문이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$의 표현 $V$ 및 부분 단순 리 대수 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\subseteq {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\hat {\mathfrak {g}}}$에 대응하는 스가와라 구성

$({\mathsf {L}}'_{n},{\mathsf {c}}')_{\mathbb {Z} }$

및 ${\hat {\mathfrak {h}}}$에 대응하는 스가와라 구성

$({\mathsf {L}}''_{n},{\mathsf {c}}'')_{\mathbb {Z} }$

이 주어진다. 이 경우,

${\mathsf {L}}_{n}={\mathsf {L}}'_{n}-{\mathsf {L}}''_{n}$

${\mathsf {c}}={\mathsf {c}}'-{\mathsf {c}}''={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}-{\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}})}}$

를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 공액류 구성(영어: coset construction) 또는 고더드-켄트-올리브 구성(영어: Goddard–Kent–Olive construction) 또는 GKO 구성(영어: GKO construction)이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든 $c<1$ 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, $c=1-6/(k+2)(k+3)$ 유니터리 표현을 구현하려면,

${\hat {\mathfrak {g}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{1}$

${\hat {\mathfrak {h}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+1}$

를 취하면 된다. 여기서 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}={\mathfrak {su}}(2)$는 ${\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$의 대각 성분이다. 이 경우

$\dim {\mathfrak {su}}(2)=3$

${\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {su}}(2))=2$

이므로,

${\mathsf {c}}={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3\times 1}{1+2}}-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}$

임을 계산할 수 있다.

분류

단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 $\Delta$에서, $\delta$를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (${\tilde {A}}_{2n}^{(2)}$의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 ${\sqrt {2}}$로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 $A_{ij}A_{ji}=4$인 경우)는 ${\xrightarrow {4}}$ 및 ${\stackrel {4}{\leftrightarrow }}$로 표기하였다. 이 경우 $A_{ij}=A_{ji}=-2$인 경우는 ${\stackrel {4}{\leftrightarrow }}$이며, $A_{ij}=-1,\;A_{ji}=-4$인 경우는 ${\xrightarrow {4}}$이다.

기호 :53–55	타 기호 :24	타 기호 :6–12	타 기호 :94–95	바일 군 궤도 수	긴 실근의 동치류 수	짧은 실근의 동치류 수	딘킨 도표	콕서터 라벨 :94–95	쌍대 콕서터 라벨 :94–95:24–25	콕서터 수:80	쌍대 콕서터 수:80
${\tilde {A}}_{1}$	$A_{1}^{u}=A_{1}^{t}$	$A_{1}$	$A_{1}^{(1)}$	2	2	0	$\bullet {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}\bullet$	$1{\stackrel {4}{\leftrightarrow }}1$		2
${\tilde {A}}_{n}$ $(n\geq 2)$	$A_{n}^{u}=A_{n}^{t}$	$A_{n}$	$A_{n}^{(1)}$	1	$n(n+1)$	0	$\bullet <{\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\cdots -\bullet }>\bullet$	$1<{1-\cdots -1 \atop 1-\cdots -1}>1$		$n+1$
${\tilde {B}}_{n}$	$B_{n}^{u}$	$B_{n}$	$B_{n}^{(1)}$	2	$2n(n-1)$	$2n$ (길이 $1$)	$\bullet \Leftarrow \bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }$	$2\Leftarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}$	$1\Leftarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}$	$2n$	$2n-1$
${\tilde {C}}_{n}$	$C_{n}^{u}$	$C_{n}$	$C_{n}^{(1)}$	3	$2n$	$2n(n-1)$ (길이 1)	$\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Leftarrow \bullet$	$1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Leftarrow 1$	$1\Rightarrow 1-1-\cdots -1-1\Leftarrow 1$	$2n$	$n+1$
${\tilde {D}}_{n}$	$D_{n}^{u}=D_{n}^{t}$	$D_{n}$	$D_{n}^{(1)}$	1	$2n(n-1)$	0	${\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }$	${1 \atop 1}>2-2-\cdots -2<{1 \atop 1}$		$2n-2$
${\tilde {E}}_{6}$	$E_{6}^{u}=E_{6}^{t}$	$E_{6}$	$E_{6}^{(1)}$	1	72	0	${\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet }>\bullet -\bullet -\bullet$	${1-2 \atop 1-2}>3-2-1$		12
${\tilde {E}}_{7}$	$E_{7}^{u}=E_{7}^{t}$	$E_{7}$	$E_{7}^{(1)}$	1	126	0	${\bullet -\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet -\bullet }>\bullet -\bullet$	${1-2-3 \atop 1-2-3}>4-2$		18
${\tilde {E}}_{8}$	$E_{8}^{u}=E_{8}^{t}$	$E_{8}$	$E_{8}^{(1)}$	1	240	0	${\bullet \atop {}}{- \atop {}}{\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet$	${2 \atop {}}{- \atop {}}{4 \atop 3}>6-5-4-3-2-1$		30
${\tilde {F}}_{4}$	$F_{4}^{u}$	$F_{4}$	$F_{4}^{(1)}$	2	24	24 (길이 1)	$\bullet -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet$	$1-2-3\Rightarrow 4-2$	$1-2-3\Rightarrow 2-1$	12	9
${\tilde {G}}_{2}$	$G_{2}^{u}$	$G_{2}$	$G_{2}^{(1)}$	2	6	6 (길이 ${\sqrt {2/3}}$)	$\bullet -\bullet \Rrightarrow \bullet$	$1-2\Rrightarrow 3$	$1-2\Rrightarrow 1$	6	4
${\tilde {A}}_{2n-1}^{(2)}$	$C_{n}^{t}$	$B_{n}^{\vee }$	$C_{n}^{(2)}$	3	$2n$	$2n(n-1)$ (길이 1)	$\bullet \Rightarrow \bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }$	$1\Rightarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}$	$2\Rightarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}$	$2n-1$	$2n$
${\tilde {A}}_{2}^{(2)}$	$BC_{1}^{m}$	$BC_{1}$	${\tilde {B}}_{1}^{(2)}$	2	$2$	$2$ (길이 $1/{\sqrt {2}}$)	$\bullet {\xrightarrow {4}}\bullet$	$1{\xrightarrow {4}}2$	$2{\xrightarrow {4}}1$	3
${\tilde {A}}_{2n}^{(2)}$ $(n\geq 2)$	$BC_{n}^{m}$	$BC_{n}$	${\tilde {B}}_{n}^{(2)}$	3	$2n$	$2n(n-1)$ (길이 1) $2n$ (길이 $1/{\sqrt {2}}$)	$\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet$	$1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 2$	$2\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1$	$2n+1$
${\tilde {D}}_{4}^{(3)}$	$G_{2}^{t}$	$G_{2}^{\vee }$	$G_{2}^{(3)}$	2	6	6 (길이 ${\sqrt {2/3}}$)	$\bullet -\bullet \Lleftarrow \bullet$	$1-2\Lleftarrow 1$	$1-2\Lleftarrow 3$	4	6
${\tilde {D}}_{n+1}^{(2)}$	$B_{n}^{t}$	$C_{n}^{\vee }$	$B_{n}^{(2)}$	2	$2n(n-1)$	$2n$ (길이 1)	$\bullet \Leftarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet$	$1\Leftarrow 1-1-\cdots -1-1\Rightarrow 1$	$1\Leftarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1$	$n+1$	$2n$
${\tilde {E}}_{6}^{(2)}$	$F_{4}^{t}$	$F_{4}^{\vee }$	$F_{4}^{(2)}$	2	24	24 (길이 1)	$\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\bullet$	$1-2\Rightarrow 3-2-1$	$2-4\Rightarrow 3-2-1$	9	12

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

Ã_n

$n\geq 2$일 경우, ${\tilde {A}}_{n}$의 카르탕 행렬은 다음과 같은 $(n+1)\times (n+1)$ 대칭 정사각 행렬이다.

$\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{n})={\begin{pmatrix}2&-1&0&0&\cdots &0&-1\\-1&2&-1&0&\cdots &0&0\\0&-1&2&-1&\dots &0&0\\0&0&-1&2&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &2&-1\\-1&0&0&0&\cdots &-1&2\end{pmatrix}}$

${\tilde {A}}_{1}$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{1})={\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}$

${\tilde {A}}_{n}$의 딘킨 도표는 $n\geq 2$일 경우 $n+1$개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

Ã_2n⁽²⁾

$n\geq 2$일 때, ${\tilde {A}}_{2n}^{(2)}$의 카르탕 행렬은 다음과 같은 $(n+1)\times (n+1)$ 비대칭 정사각 행렬이다.

$\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{2n}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1&0&\cdots &0&0&0\\-2&2&-1&\cdots &0&0&0\\0&-1&2&\dots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &2&-1&0\\0&0&0&\cdots &-1&2&-1\\0&0&0&\cdots &0&-2&2\end{pmatrix}}$

여기서 행·열 $0,1,\dots ,n$의 순서는 다음과 같다.

$\alpha _{0}\Rightarrow \alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\Rightarrow \alpha _{n}$

${\tilde {A}}_{2}^{(2)}$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{2}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}}$

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.

$\alpha _{0}{\xrightarrow {4}}\alpha _{1}$

G̃₂와 D̃₄⁽³⁾

${\tilde {G}}_{2}$의 근계. 여기서 $\alpha =\alpha _{2}$는 $G_{2}$의 유일한 짧은 근, $\beta =\alpha _{1}$는 $G_{2}$의 유일한 긴 근이며, $\gamma =a_{1}\alpha _{1}+a_{2}\alpha _{2}=\delta$이다. 양근은 붉은 색으로, 음은은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사 $\psi _{\alpha }$, $\psi _{\beta }$, $\psi _{\gamma }$는 ${\tilde {G}}_{2}$의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본 벽감(fundamental alcove)는 직각삼각형 ${\mathcal {C}}$이다.

${\tilde {G}}_{2}$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\operatorname {Cartan} ({\tilde {G}}_{2})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&2\end{pmatrix}}$

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

$\alpha _{0}-\alpha _{1}\Rrightarrow \alpha _{2}$

이다.

${\tilde {D}}_{4}^{(3)}$의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\operatorname {Cartan} ({\tilde {D}}_{4}^{(3)})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-3\\0&-1&2\end{pmatrix}}$

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는

$\alpha _{0}-\alpha _{1}\Lleftarrow \alpha _{2}$

이다.

예

${\mathfrak {g}}=\mathbb {C}$가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수

$\mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]$

역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대

$0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}\to \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0$

에서

$[{\mathsf {z}}^{m},{\mathsf {z}}^{n}]=\delta _{m+n,0}m{\mathsf {k}}$

$[{\mathsf {k}},{\mathsf {z}}^{m}]=0$

이 된다. 이 경우,

${\mathsf {z}}^{-n}={\sqrt {n}}{\mathsf {p}}_{n}\qquad (n>0)$

${\mathsf {z}}^{n}={\sqrt {n}}{\mathsf {q}}_{n}\qquad (n>0)$

${\mathsf {k}}=\hbar$

로 놓으면,

$[{\mathsf {q}}_{m},{\mathsf {p}}_{n}]=\delta _{m,n}\hbar$

가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 (${\mathsf {z}}^{0}$으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다.^:§2.4 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 $\mathbb {C} [{\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsb ]$ 위에 표준적으로 작용한다.^:(2.19)

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.^:(2.23)

${\mathsf {L}}_{n}=-{\frac {1}{2}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\mathsf {z}}^{\min\{m,n-m\}}{\mathsf {z}}^{\max\{m,n-m\}}$

${\mathsf {c}}=1$

물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.

역사

아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디(영어: Robert Moody)가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카(일본어: 菅原 寛孝 (すがわら ひろたか))가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(영어: Peter Goddard, 1945〜) · 에이드리언 켄트(영어: Adrian Kent) · 데이비드 올리브(영어: David Olive, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.

외부 링크

• “Kac-Moody algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Affine Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Schaps, Malka; Hoyt, Crystal. “Lecture notes from the Representation Theory Seminar at Bar-Ilan University 2010-2011” (영어). 2013년 10월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 12월 7일에 확인함. 
• Adams, Jeffrey. “Affine Root Systems” (영어). 
• Wray, Kevin. “Affine Lie algebras” (PDF) (영어). 
• Hernandez, David. “An introduction to affine Kac–Moody algebras” (PDF) (영어). 
• “Why are affine Lie algebras called affine?” (영어). Math Overflow.