베스-추미노-위튼 모형

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
둘러보기로 가기 검색하러 가기

이론물리학수학에서, 베스-추미노-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Witten (WZW) model), 혹은 베스-추미노-노비코프-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Novikov-Witten model)은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

정의[편집]

리 군 위의 제르브[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

임을 보일 수 있다. 그 생성원을 라고 하자. 기하학적으로, 이는 위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로, 킬링 형식

및 3차 형식

을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 에 비례한다.

그렇다면, 의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식

로 정의할 수 있다.

베스-추미노-위튼 작용[편집]

이제, 임의의 리만 곡면 매끄러운 함수

가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.

  • 가 되는 3차원 경계다양체
  • 가 되는 연속 함수
  • 가 되는 2차 미분 형식

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 , 가 주어졌을 때, 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.

정의에 따라서, 가 정수 코호몰로지에 속하므로,

이다. 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여,

임을 알 수 있다.

따라서,

의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제, 에 임의의 리만 계량 를 부여하자. 베스-추미노-위튼 작용

이다. (의 양의 실수 스칼라배는 의 재정의로 흡수될 수 있다.) 준위(영어: level)라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 베스-추미노-위튼 모형이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.

  • 리 대수 의 지표
  • 의 지표
  • 의 지표

그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

여기서 레비-치비타 기호, 리 대수의 구조 상수다.

만약 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

양자화[편집]

베스-추미노-위튼 모형의 전류(current, 인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

성질[편집]

장방정식[편집]

베스-추미노-위튼 이론에서, 고전적으로 는 완전 미분이므로 장방정식에 기여하지 않는다. 따라서, 고전적 장방정식은

이다. (편의상, 위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

천-사이먼스 이론과의 관계[편집]

천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.[1]:§5 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS3/CFT2)로 생각할 수 있다.[2][3] 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.[4]

역사[편집]

율리우스 베스브루노 추미노[5], 세르게이 페트로비치 노비코프[6], 에드워드 위튼[7][8] 이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

참고 문헌[편집]

  1. Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv:hep-th/9904145. 
  2. “Chern-Simons Gauge Theory and the AdS(3)/CFT(2) Correspondence” (영어). arXiv:hep-th/0403225. 
  3. “Chiral anomalies and AdS/CMT in two dimensions” (영어). arXiv:1012.4831. 
  4. Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어). 121호=3: 351–399. MR 0990772. 
  5. Wess, Julius; Bruno Zumino (1971년 11월 1일). “Consequences of anomalous Ward identities”. 《Physics Letters B》 (영어) 37 (1): 95–97. Bibcode:1971PhLB...37...95W. ISSN 0370-2693. doi:10.1016/0370-2693(71)90582-X. 
  6. Novikov, S.P. (1981). “Multivalued functions and functionals: An analogue of Morse theory”. 《Soviet Mathematics Doklady》 (영어) 24: 222–226. ISSN 0197-6788. Zbl 0505.58011. 
  7. Witten, Edward (1983). “Global aspects of current algebra”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 223 (2): 422–421. Bibcode:1983NuPhB.223..422W. ISSN 0550-3213. doi:10.1016/0550-3213(83)90063-9. 
  8. Witten, Edward (1984). “Non-abelian bosonization in two dimensions”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 92 (4): 455–472. ISSN 0010-3616. Zbl 0536.58012. doi:10.1007/BF01215276. 
  • Tsvelik, Alexei M. (2010년 5월). 《Quantum field theory in condensed matter physics》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82284-8. doi:10.1017/CBO9780511615832. 
  • Walton, Mark (1999년 11월 24일). “Affine Kac–Moody algebras and the Wess–Zumino–Witten model” (영어). arXiv:hep-th/9911187. 
  • Fuchs, Jürgen (1997). 〈Lectures on conformal field theory and Kac–Moody algebras〉. 《Conformal Field Theories and Integrable Models: Lectures Held at the Eötvös Graduate Course, Budapest, Hungary, 13–18 August 1996》. Lecture Notes in Physics (영어) 498. Berlin, Heidelberg: Springer. 1–54쪽. ISBN 978-3-540-63618-2. arXiv:hep-th/9702194. doi:10.1007/BFb0105277. 

외부 링크[편집]