포크 공간

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양자역학에서, 포크 공간 (Фок空間, 영어: Fock space)은 임의의 수의 자유입자의 상태를 나타내는 힐베르트 공간이다. 소련의 물리학자 블라디미르 포크1932년 도입하였다.[1]

수학적으로, 다음과 같이 정의한다. 단입자 힐베르트 공간H라고 하자. S는 입자가 보손이면 공간을 대칭화하는 연산자, 페르미온이면 반대칭화하는 연산자라고 하자. 그렇다면 포크 공간 F(H)은 다음과 같이 단입자 힐베르트 공간의 텐서곱가군 직합완비화로 나타낸다.

F(H)=\overline{\bigoplus_{n=0}^{\infty}SH^{\otimes n}}

만약 여러 종류의 입자가 존재할 경우 이에 대해 자연스럽게 확장할 수 있다.

하크 정리[편집]

포크 공간은 자유입자만을 나타낼 수 있다. 즉 상호작용하는 입자는 포크 공간으로 나타낼 수 없다. 이를 하크 정리(Haag's theorem)이라고 한다.[2] 이 사실은 독일의 루돌프 하크1955년에 지적하였다.[3]

바르그만 표현[편집]

포크 공간은 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 만약 1입자 힐베르트 공간 V\cong\mathbb C^n=\{(z^1,\dots,z^n)\}이 1차원이라고 하면, 바르그만-포크 공간(영어: Bargmann–Fock space) \mathcal F^2(V)는 다음 성질을 만족시키는 함수 f\colon V\to\mathbb C들의 집합이다.

이 공간에 다음과 같은 노름을 주어, 힐베르트 공간으로 만들 수 있다.

\langle f|g\rangle=(1/\pi^n)\int_V\bar f(\bar{\mathbf z})g(\mathbf z)\,d^n\mathbf z

이 경우, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

\langle f|\partial_ig\rangle=\langle z^if|g\rangle

또한,

[\partial_i,z^j]=\delta_i^j

이므로, 다음과 같이 대응시키면 이 공간이 포크 공간과 동형임을 알 수 있다.

이름 포크 공간 바르그만-포크 공간
진공 |0\rangle 1
생성 연산자 a_i^\dagger z^i
파괴 연산자 a_i \partial_i
다입자 상태 \left(\prod_{i=1}^n(a_i^\dagger)^{n_i}/\sqrt{n_i!}\right)|0\rangle \prod_{i=1}^nz_i^{n_i}/\sqrt{n_i!}

만약 1입자 상태 V가 무한 차원 힐베르트 공간일 경우, \mathcal F(\mathbb C^n)들의 귀납적 극한을 취하여 바르그만-포크 공간을 정의할 수 있다.

바르그만-포크 공간은 발렌티네 바르그만(독일어: Valentine Bargmann)이 1961년 정의하였다.[4] [5]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Fock, Vladimir (1932년 9월). Konfigurationsraum und zweite Quantelung. 《Zeitschrift für Physik》 75 (9-10): 622–647. doi:10.1007/BF01344458.
  2. (영어) Earman, John, Doreen Fraser (2006년 5월). Haag’s theorem and its implications for the foundations of quantum field theory. 《Erkenntnis》 64 (3): 305–344. doi:10.1007/s10670-005-5814-y.
  3. Haag, Rudolf (1955년). On quantum field theories. 《Matematisk-fysiske Meddelelser》 29 (12).
  4. (영어) Bargmann, V (1962년 2월 1일). Remarks on a Hilbert space of analytic functions. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 48 (2): 199–204. doi:10.1073/pnas.48.2.199. ISSN 0027-8424.
  5. Stochel, Jerzy B. (1997년). Representation of generalized annihilation and creation operators in Fock space. 《Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica》 34: 135–148.
  • Michael C. Reed, Barry Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II", Academic Press 1975. 328쪽.