킬링 형식

리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing形式, 영어: Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다. 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

정의

추상적 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하고, 또한 ${\mathfrak {g}}$가 유한 차원 $K$-자유 가군이라고 하자. 이제, ${\mathfrak {g}}$의 딸림표현

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}};k)$

$\operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]$

를 생각하자. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식

$B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K$

는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

$B(a,b)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)$

여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

리 초대수의 경우

보다 일반적으로, 체 $K$ 위의 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하고, 또한 ${\mathfrak {g}}$가 유한 차원 $K$-초벡터 공간이라고 하자. 이제, ${\mathfrak {g}}$의 딸림표현

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}};K)$

$\operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y\}$

를 생각하자. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식

$B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K$

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.^:§23

$B(a,b)=\operatorname {str} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)$

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

성분을 통한 정의

체 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 기저 $(x_{i})_{i\in I}$를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

$[x_{i},x_{j}]=f_{ij}{}^{k}x_{k}$

라고 하자. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B(x_{i},x_{j})=B_{ij}=\sum _{k}\sum _{l}f_{ik}{}^{l}f_{jl}{}^{k}$

성질

킬링 형식은 대각합의 순환성($\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (YX)$)에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

$B([x,y],z)=B(x,[y,z])$

리 초대수의 킬링 형식

체 $K$ 위의 유한 차원 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식 $B$는 다음과 같은 성질을 갖는다.^:§23

$B({\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {g}}_{1})=0$

$B(x,y)=(-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1}$

$B([x,y\},z)=B(x,[y,z\})\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}$

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.^:§23

• ${\mathfrak {sl}}(n|n)$
• ${\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )$
• ${\mathfrak {osp}}(2n+2|2n)$
• ${\mathfrak {p}}(n)$
• ${\mathfrak {q}}(n)$

나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

직합

체 $K$ 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 ${\mathfrak {g}}$, ${\mathfrak {g}}'$에 대하여, 그 직합 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}(x\oplus x',y\oplus y')=B_{\mathfrak {g}}(x,y)+B_{\mathfrak {h}}(x',y')\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;x',y'\in {\mathfrak {g}}')$

실수체 위의 리 대수

만약 ${\mathfrak {g}}$가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan條件, 영어: Cartan criterion)이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

예

아벨 리 대수

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 아벨 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식은 항상 0이다.

행렬 리 대수

임의의 체 $K$ 및 자연수 $n$에 대하여, 일반 선형 리 대수 $\operatorname {\mathfrak {gl}} (n;K)$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B_{{\mathfrak {gl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)-2\operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)$

또한, 특수 선형 리 대수 $\operatorname {\mathfrak {sl}} (n;K)$의 킬링 형식은 다음과 같다.

$B_{{\mathfrak {sl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)$

증명:

편의상, ${\mathfrak {gl}}(n;K)$의 기저 $(e_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$가 $(i,j)$번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,

$[M,e_{ij}]_{ab}=\delta _{jb}M_{ai}-\delta _{ia}M_{jb}$

이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,

$[M,[N,e_{ij}]]+[e_{ij},[M,N]]+[N,[e_{ij},M]]=0$

이다. 따라서,

$c_{ij}=([M,[N,e_{ij}])_{ij}$

$B(M,N)=\sum _{ij}c_{ij}$

라고 놓으면,

$c_{ij}=\left(\sum _{a=1}^{n}M_{ia}N_{ai}\right)-M_{ii}N_{jj}-N_{ii}M_{jj}+\left(\sum _{a=1}^{n}N_{ja}M_{aj}\right)$

가 된다. 따라서,

$B(M,N)=\sum _{i,j=1}^{n}\left(\left(\sum _{a=1}^{n}M_{ia}N_{ai}\right)-M_{ii}N_{jj}-N_{ii}M_{jj}+\left(\sum _{a=1}^{n}N_{ja}M_{aj}\right)\right)=2n\operatorname {tr} (MN)-2\operatorname {tr} M\operatorname {tr} N$

이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해

${\mathfrak {sl}}(n;K)\oplus K\cong {\mathfrak {gl}}(n;K)$

아래, 아벨 리 대수 $K$의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

리 대수	설명	킬링 형식
gl(n, ℂ)	n×n 복소수 행렬	2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ)	n×n 무대각합 복소수 행렬	2n tr(XY)
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	2n tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 실수 행렬	(n−2) tr(XY)
so(n, ℂ)	n×n 반대칭 복소수 행렬	(n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ)	2n×2n 실수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ)	2n×2n 복소수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)

리 대수의 계량과 이중 콕서터 수

단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 ${\sqrt {2}}$가 되게 규격화한다.^{:27:§13.1.10} 이 경우 짧은 근의 길이는 B_n, C_n, F₄인 경우 1 또는 G₂의 경우 ${\sqrt {2/3}}$이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.

리 대수	행렬 표현	규격화 계량 형식
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	− tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 행렬	− ½tr(XY)
usp(2n)	2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬	− tr(XY)
	n×n 사원수 반에르미트 행렬	− tr(XY + YX)
e6	27×27 반에르미트 행렬	− (9/4) tr(XY)
e7	56×56 반대칭 행렬	− (3/2) tr(XY)
e8	248×248 반대칭 행렬	− (41/10) tr(XY)
f4	26×26 반대칭 행렬	− (4/3) tr(XY)
g2	7×7 반대칭 행렬	− (5/8) tr(XY)

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 $f\colon \mathbb {S} ^{3}\to G$에 대하여 항상

${\frac {1}{48\pi }}\int _{G}\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle \in \mathbb {Z}$

이다.

이렇게 규격화한 계량 형식을 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$로 놓으면,

$K=-2h^{\vee }\langle \cdot ,\cdot \rangle$

이다.^{:§6.1:§13.1.2} 여기서 $h^{\vee }$는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(영어: dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

리 대수	an	bn	cn	dn	e6	e7	e8	f4	g2
다른 이름	SU(n+1)	SO(2n+1)	USp(2n)	SO(2n)	—
이중 콕서터 수	n+1	2n−1	n+1	2n−2	12	18	30	9	4

역사

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다. 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Killing form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Killing form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Killing form”. 《nLab》 (영어). 
• “What role does the “dual Coxeter number” play in Lie theory (and should it be called the “Kac number”)?” (영어). Math Overflow.