특수 유니터리 군

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수학에서, 특수 유니터리 군(特殊unitary群, 영어: special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군부분군이다.

정의[편집]

K자기 동형

\bar{\quad}\colon K\to K

를 가진다고 하자. K 위의 유한 차원 벡터 공간 V와, V 위의 비퇴화 반쌍선형 형식

Q\colon V\times V\to K
Q(au+bv,w)=\bar aQ(u,w)+\bar bQ(v,w)
Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)

가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(V,Q)는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다.

\operatorname{SU}(V,Q)=\{M\in\operatorname{SL}(V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\}

특히, 만약 Vn차원 벡터 공간이며, Q가 자명한 항등 이차 형식

Q(u,v)=\sum_{i=1}^n\bar uv

일 경우, 이를 \operatorname{SU}(n;K)라고 쓴다. 만약 K를 생략하는 경우, K=\mathbb C를 뜻한다.

또한, 만약 K=\mathbb C이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, V(p+q)차원 복소수 벡터 공간이며, Q계량 부호수(p,q)라면, 이는 \operatorname{SU}(p,q)라고 쓴다.

리 대수[편집]

\operatorname{SU}(n)리 대수 \operatorname{su}(n)n\times n 반에르미트 행렬들로 구성된다. 특히, \operatorname{su}(2)파울리 행렬로 생성되며, \operatorname{su}(3)겔만 행렬로 생성된다.

성질[편집]

군론적 성질[편집]

특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.

\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))=\{\exp(2\pi ik/n)1_{n\times n}\colon k=0,1,\dots,n-1\}\cong\mathbb Z/n

중심에 대한 몫군사영 특수 유니터리 군(영어: projective special unitary group)이라고 한다.

1\to\mathbb Z/n\cong\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))\to\operatorname{SU}(n)\to\operatorname{PSU}(n)\to1

리 이론적 성질[편집]

특수 유니터리 군 \operatorname{SU}(n)n^2-1차원 단순 리 군이며, 계수는 n-1이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 A_{n-1}이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

\bullet-\bullet-\cdots-\bullet

특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

\left\{\operatorname{diag}\left(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{n-1},\prod_{i=1}^{n-1}\lambda_i^{-1}\right)\colon\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}\in\operatorname U(1)\right\}\subset\operatorname{SU}(n)

특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다.

\operatorname{Weyl}(\operatorname{SU}(n))=\operatorname{Sym}(n)

대칭군 \operatorname{Sym}(n)n차원 순열 표현(영어: permutation representation) 및 그 부분 표현인 n-1차원의 표준 표현(영어: standard representation)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 n차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.

위상수학적 성질[편집]

\operatorname{SU}(n)콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다.

\operatorname{SU}(2)는 3차원 초구 \mathbb S^3위상동형이다.

포함 관계[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

  • \operatorname{SO}(2n)\supset\operatorname{SU}(n). 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는 \operatorname{SO}(2n) 딘킨 도표에서 \circ로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
    \overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-3}-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-3}-\bullet-\bullet
  • \operatorname{SU}(n)\supset\operatorname{SO}(n). 이는 실수 n\times n 행렬을 복소수 n\times n 행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
  • \operatorname{SU}(n+1)\supset\operatorname{U}(n). 이는 \operatorname{SU}(n+1) 딘킨 도표에서 \circ로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
    \overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^n-\circ\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^n
  • \operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n). 이는 \operatorname{SU}(2n)딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다.
    \overbrace{{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\atop\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}}^{n-1}\rangle\bullet\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-1}\Leftarrow\bullet
  • E_7\supset\operatorname{SU}(8)/(\mathbb Z/2).[1]:§4.12 이는 E7 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
    \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
  • E_8\supset\operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3).[1]:§5.11 이는 E8\mathbb Z/3 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, \scriptstyle\otimes로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 \circ을 제거하여 얻는다.
    \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}
  • G_2\supset\operatorname{SU}(3)

예외적 동형[편집]

낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)이 성립한다.

\operatorname{SU}(1)\cong1
\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(3)
\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)
\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(4)
\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(4)
\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)
\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(6)
\operatorname{PSU}(4)\cong\operatorname{PSO}(6)

표현론[편집]

\operatorname{SU}(n)의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현(영어: defining representation) \squaren차원 표현이며, 그 켤레 \bar\square 역시 n차원 표현이다. 또한, n^2-1차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

\operatorname{SU}(2)의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 j\in\tfrac12\mathbb Z에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.

응용[편집]

SU(n)은 입자물리학표준 모형에서 쓰인다. SU(2)약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.

참고 문헌[편집]

  1. Yokota, Ichiro (2009년 2월). “Exceptional Lie groups” (영어). arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]