심플렉틱 군

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수학에서, 심플렉틱 군(symplectic group) 또는 사교군(斜交群)은 고전적 행렬 리 군의 하나다.

정의[편집]

심플렉틱 군 Sp(2n,F)[편집]

F라고 하자. 다음과 같은 2n\times2n 행렬을 정의하자.

\Omega=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(2n,F)

여기서 I_nn\times n 단위행렬이다.

그렇다면 \operatorname{Sp}(2n,F)M^T\Omega M=\Omega를 만족하는 2n\times2n 행렬 A들의 곱셈군이다. 즉,

\operatorname{Sp}(2n,F)=\{M\in\operatorname{GL}(2n,F)|M^T\Omega M=\Omega\}.

이 성질을 만족하는 행렬을 심플렉틱 행렬이라고 한다.

실수 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n,\mathbb R)n(2n+1) (실수) 차원의 연결 리 군이다. 이는 콤팩트하지 않고, 그 기본군\mathbb Z이다.

복소 심플렉틱 군 \operatorname{Sp}(2n,\mathbb R)n(2n+1) 복소 차원의 연결 단일연결 리 군이다. 이는 콤팩트하지 않다.

유니터리 심플렉틱 군 USp(2n)[편집]

유니터리 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(2n)2n\times2n 유니터리 심플렉틱 복소 행렬의 리 군이다. 즉,

\operatorname{USp}(2n)=\operatorname U(2n)\cap\operatorname{Sp}(2n,\mathbb C)

이다. 간혹 USp(2n)을 Sp(n)으로 쓰기도 한다. 하지만 이는 Sp(n,F)와 다른 군이다.

유니터리 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(2n)사원수유니터리 군 \operatorname{U}(n,\mathbb H)과 같다.

유니터리 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(2n)n(2n + 1) (실수) 차원의 콤팩트 연결 단일연결 리 군이다.

유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 가진다.

\operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{USp}(2n-2)
\operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{SU}(n)
\operatorname{USp}(4) \supset\operatorname{O}(4)
F_4 \supset \operatorname{USp}(8)
G_2 \supset \operatorname{USp}(2).

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]