유니터리 군

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수학에서, 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬리 군이다. 기호는 U(n).

정의[편집]

복소수 힐베르트 공간 \mathcal H가 주어졌을 때, 유니터리 군 \operatorname U(\mathcal H)\mathcal H 위의 유니터리 작용소들의 이다.

만약 \mathcal Hn 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 \operatorname U(n)으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 n\times n 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

\operatorname U(n)=\{M\in\operatorname{GL}(n,\mathbb C)|M^\dagger M=1\}

이다.

유니터리 리 대수[편집]

유니터리 군 U(n)2n^2차원 실수 리 군이다. 그 리 대수

\mathfrak u(n)=\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1)

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, \mathfrak u(n)는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

성질[편집]

군론적 성질[편집]

유니터리 군 \operatorname U(n)중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

\lambda 1_{n\times n}\qquad(\lambda\in\mathbb C,\;|\lambda|=1)

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

\det\colon U(n)\to U(1)

군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군특수 유니터리 군 SU(n)이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to SU(n)\hookrightarrow U(n)\xrightarrow{\det}U(1)\to1

리 이론적 성질[편집]

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\colon\lambda_i\in\operatorname U(1)\}\subset\operatorname U(n)

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군대칭군 \operatorname{Sym}(n)이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

위상수학적 성질[편집]

모든 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여, 유니터리 군 \operatorname U(n)콤팩트 연결 실수 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

\pi_0(\operatorname U(n))=1
\pi_1(\operatorname U(n))=\mathbb Z

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군호모토피 동치이다.

\operatorname U(n)\simeq\operatorname{GL}(n;\mathbb C)

호프 올뭉치

\operatorname U(n)\hookrightarrow\operatorname U(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^{2n+1}

로 인하여, 만약 i<2n이라면

\pi_i(\operatorname U(n))\cong\pi_i(\operatorname U(n+1))

이다.[1]:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1]:113

\pi_i(\operatorname U(n))=\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb Z&2\nmid i\end{cases}\qquad(i<2n)

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12
U(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U(2) 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 (ℤ2)2
U(3) 0 0 0 6
U(4) 0 0 0 0
U(5) 0 0 0 0 0
U(6) 0 0 0 0 0 0


이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군 \operatorname U(\infty)을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

\operatorname U(\infty)=\varinjlim_n\operatorname U(n)

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

\pi_i(\operatorname U(\infty))=\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb Z&2\nmid i\end{cases}

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간호모토피 동치이다.[1]:112, Theorem 1

\operatorname U(\infty)\simeq\Omega^2\operatorname U(\infty)

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 \mathcal H의 유니터리 군 \operatorname U(\mathcal H)\operatorname U(\infty)와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, \operatorname U(\mathcal H)축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.[2]

\pi_i(\operatorname U(\mathcal H))=0\quad\forall i

포함 관계[편집]

유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 \mathbb S^1이다.

참고 문헌[편집]

  1. Karoubi, Max. 〈Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory〉. 《Handbook of K-theory. Volume 1》 (영어). 111–137쪽. doi:10.1007/978-3-540-27855-9_4. 
  2. Kuiper, Nicolaas H. (1965). “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space” (영어). 《Topology》 3 (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]