유니터리 군

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수학에서, 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬리 군이다. 기호는 U(n).

정의[편집]

유니터리 군 U(n)n\times n 유니터리 행렬리 군이다. 즉,

U(n)=\{M\in\operatorname{GL}(n,\mathbb C)|M^\dagger M=1\}

이다.

성질[편집]

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

\det\colon U(n)\to U(1)

군 준동형사상이 존재한다. 이에 대한 몫군특수 유니터리 군 SU(n)이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to SU(n)\hookrightarrow U(n)\xrightarrow{\det}U(1)\to1.

유니터리 군 U(n)2n^2차원 실수 리 군이다. (주: 복소 리 군을 이루지 않는다.) 그 리 대수

\mathfrak u(n)=\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1)

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, \mathfrak u(n)는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

유니터리 군 U(1)은 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 \mathbb S^1이다.