대각 행렬

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선형대수학에서, 대각 행렬(對角行列, 영어: diagonal matrix)은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬이다.[1][2][3]:100

정의[편집]

위의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 행렬을 대각 행렬이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 라면,
  • 상삼각 행렬이며, 동시에 하삼각 행렬이다.

번째 대각 성분이 인 대각 행렬은 다음과 같이 표기할 수 있다.

마찬가지로, 임의의 크기 의 대각 행렬을 정의할 수 있으며, 이 경우 다음과 같은 표기를 사용할 수 있다.[1]:18, §1.2.6

성질[편집]

대칭성과 반대칭성[편집]

위의 모든 대각 행렬 대칭 행렬이자 반대칭 행렬이다.

표수가 2가 아닌 위의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

(표수 2의 환 위에서는 대칭 행렬반대칭 행렬동치이며, 이는 일반적으로 대각 행렬과 동치가 아니다.)

고윳값[편집]

위의 대각 행렬 고윳값은 대각 성분들이며, 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치한다.

대각화[편집]

위의 모든 대각 행렬 는 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

위의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 은 대각화 가능 행렬이다.
  • 의 모든 고윳값의 기하적 중복도는 그 대수적 중복도와 일치한다.
  • 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.

직교 대각화와 유니터리 대각화[편집]

실수 정사각 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:315, §8.5

  • 직교 대각화 가능 행렬이다. 즉, 가 대각 행렬이 되는 실수 직교 행렬 가 존재한다.
  • 대칭 행렬이다.

복소수 정사각 행렬 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:311–317, §8.5

복소수 정사각 행렬 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[2]:315–316, §8.5, Theorem 20

특히, 대각 행렬이 아닌 복소수 상·하삼각 행렬은 유니터리 대각화 가능하지 않다.

[편집]

모든 스칼라 행렬은 대각 행렬이다. 특히, 단위 행렬영행렬은 대각 행렬이다.

다음 실수 정사각 행렬은 대각 행렬이다.

다음 실수 행렬은 대각 행렬이다.

다음 실수 행렬은 대각 행렬이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix Computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. 
  2. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 
  3. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 

외부 링크[편집]