심플렉틱 다양체

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미분기하학에서, 심플렉틱 다양체(symplectic多樣體, symplectic manifold) 또는 사교다양체(斜交多樣體)는 닫힌 비퇴화 2차 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체다. 여접다발의 개념을 일반화한 것으로 생각할 수 있으며, 항상 짝수 차원을 가진다. 심플렉틱 다양체의 성질을 연구하는 수학 분야를 심플렉틱 기하학(symplectic幾何學, 영어: symplectic geometry) 또는 심플렉틱 위상수학(symplectic位相數學, 영어: symplectic topology)이라고 한다.

정의[편집]

심플렉틱 다양체 (M,\omega)매끄러운 다양체 M와, 그 위에 정의된 닫힌 비퇴화 2차 미분 형식 \omega으로 이루어진 순서쌍이다. 여기서 \omega심플렉틱 형식(symplectic form)이라고 한다.

심플렉틱 형식이 만족하여야 하는 조건은 구체적으로 다음과 같다.

  • 반대칭성: 2차 미분형식이란 정의상 반대칭 (0,2)-텐서 \omega(X,Y)=-\omega(Y,X)다.
  • 닫힘(closed): d\omega=0. 여기서 d는 미분형식의 외미분(exterior derivative)이다. 다시 말해, 국소적으로 \omega=d\theta인 1차 미분 형식 \theta가 존재한다. 이 1차 미분 형식은 간혹 심플렉틱 퍼텐셜(영어: symplectic potential)이라 불린다.
  • 비퇴화성(nondegenerate): 임의의 점 p\in M에서, 임의의 0이 아닌 벡터 X\in T_pM에 대하여, \omega(X,Y)\ne0인 벡터 Y\in T_pM이 존재한다. 다시 말해, X가 0이 아니면 1차 미분형식 \omega(X,\cdot)도 0이 아니다. 따라서 \omega는 벡터 공간 T_pM과 여벡터 (1차 형식) 공간 T_p^*M 사이에 동형사상을 정의한다. 이 점에서 심플렉틱 형식은 리만 다양체계량 텐서와 유사하다.

비퇴화 2차 미분형식은 짝수 차원에만 존재하므로, 심플렉틱 다양체는 짝수 차원을 가진다. 만약 \omega가 다른 조건은 만족하지만 닫혀 있지 않으면 이를 거의 심플렉틱 형식(almost symplectic form)이라고 하고, 이를 갖춘 다양체를 거의 심플렉틱 다양체(almost symplectic manifold)라고 한다.

심플렉틱 다양체의 범주는 심플렉틱 다양체를 대상으로 하고, 심플렉틱 형식을 보존하는 매끄러운 함수를 사상으로 하는 범주다. 즉, 두 심플렉틱 다양체 (M,\omega), (M',\omega') 사이의 사상이란

f^*\omega'=\omega

를 만족하는 매끄러운 함수 f\colon M\to M'이다. (여기서 f^*f로의 당김을 뜻한다.)

심플렉틱 동형 사상(symplectomorphism)은 심플렉틱 다양체의 범주에서의 동형 사상이다. 즉, 두 심플렉틱 다양체 (M,\omega), (M',\omega') 사이의 심플렉틱 동형 사상 ff^*\omega'=\omega를 만족하는 미분동형사상 f\colon M\to M'이다. 심플렉틱 동형 사상은 해밀턴 역학에서 정준변환이라고 불린다.

성질[편집]

위상수학적 성질[편집]

모든 심플렉틱 다양체는 짝수 차원의 유향 다양체이다. 콤팩트 심플렉틱 다양체 (M,\omega)의 경우, 2차 베티 수가 0일 수 없다. 이는 \omega^n/n!부피 형식이므로, 0\ne[\omega]\in\mathbb H^2(M;\mathbb Q)이기 때문이다.

모든 심플렉틱 다양체는 호환되는 개복소구조를 가지므로, 개복소구조의 존재는 심플렉틱 구조가 존재할 필요조건이다. 특히, 4차원 다양체 M의 경우, 개복소구조가 존재할 필요조건은 다음과 같다.

1-b_1(M)+b_2^+(M)\equiv0\pmod2여기서 b_i베티 수이고, b_2^\pm는 2차 코호몰로지 가운데, 교차 형식 아래 고윳값이 \pm1인 것의 수이다.

위 조건들은 모두 호모토피 불변량이다. 이 밖에도, 자이베르그-위튼 불변량을 통해, 호모토피 불변이 아닌, 심플렉틱 구조의 존재에 대한 필요조건을 유도할 수 있다.

미분기하학적 성질[편집]

다르부의 정리에 따라서, 모든 심플렉틱 다양체는 국소적으로 평탄한 공간과 동형이다. 즉, 심플렉틱 다양체는 국소적인 기하학을 갖지 않는다.

대역적으로, 심플렉틱 다양체는 부피를 가지며, 부피 밖에도 심플렉틱 용량이라는 2차원적 "넓이"를 갖는다.

[편집]

초구 \mathbb S^n가 심플렉틱 구조를 가질 수 있는 필요충분조건은 n=0,2인 것이다. n이 홀수인 경우는 물론 불가능하며, n>2인 경우는 2차 베티 수가 0이기 때문이다.

여접다발[편집]

임의의 n차원 매끄러운 다양체 M여접다발 T^*M은 자연스러운 심플렉틱 구조를 지닌다. 여접다발 안의 임의의 점 (x,\phi)를 생각하자. 또한, x\in M 근처에 국소좌표계 q^i를 잡자. 그렇다면 임의의 1차 형식 \phi\in T_x^*M\phi=p_idq^i의 꼴로 전개할 수 있다. 즉 M의 국소좌표계 q^i로부터 T_xM의 좌표계 (이는 벡터 공간이므로 기저) p_i를 유도할 수 있다. 따라서, (q^i,p_i)는 여접다발 T^*M의 ((x,\phi) 근처에서의) 국소좌표계를 이룬다. 그렇다면 심플렉틱 퍼텐셜 \theta

\theta=\sum_{i=1}^np_i dq^i
와 같이 정의할 수 있다. 이에 따라 심플렉틱 형식 \omega
\omega=d\theta=\sum_{i=1}^ndp_i\wedge dq^i
이고, (T^*M,\omega)2n차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.

리만 곡면[편집]

임의의 리만 곡면 (2차원 유향 다양체) 위에서, 적절한 리만 계량을 주고, 이에 대한 부피 형식을 심플렉틱 형식으로 잡으면 심플렉틱 다양체를 이룬다. 즉, 2차원에서는 가향성 밖에는 심플렉틱 구조의 존재의 방해물이 존재하지 않는다.

복소수 대수 곡면[편집]

엔리퀘스-고다이라 분류에 따라, 1차 베티 수가 짝수인 모든 4차원 (=복소수 2차원) 단일 연결 복소다양체켈러 다양체의 구조를 가질 수 있으며, 따라서 심플렉틱 구조를 가질 수 있다.[1]:§4.1

응용[편집]

심플렉틱 다양체는 해밀턴 역학에서 위상 공간으로서 등장한다. 위상 공간은 짜임새 공간여접다발을 일반화한 것이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]