베르마 가군

리 대수의 표현론에서 베르마 가군(वर्मा加群, 영어: Verma module)은 주어진 무게에 대한 가장 “일반적인” 최고 무게 가군이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• ${\mathfrak {g}}$의 부분 리 대수 ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {g}}$
• ${\mathfrak {p}}$의 표현 $V$ (즉, $\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})$의 왼쪽 가군)

그렇다면, 이에 대응되는 일반화 베르마 가군(一般化वर्मा加群, 영어: generalized Verma module)은 다음과 같다.

$\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V$

여기서

• $\operatorname {U} (-)$는 리 대수의 보편 포락 대수이다.
• $\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})$의 오른쪽 $\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})$-작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리에 의하여 $\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})\subseteq \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})$이므로) 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

• $K$는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
• ${\mathfrak {g}}$는 $K$ 위의 반단순 리 대수이다.
• ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}$는 보렐 부분 대수이다.
• $V=\mathbb {C}$는 ${\mathfrak {b}}$의 무게 $\lambda \colon \mathbb {b} \to {\mathfrak {b}}/[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\to \mathbb {C}$를 이루는 1차원 표현이다.

이 경우를 베르마 가군이라고 한다.

등급

복소수체 위의 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 및 그 포물형 부분 대수 ${\mathfrak {p}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}$ 위에 자연스러운 등급

${\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}$

이 주어지며,

${\mathfrak {p}}=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}$

${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}}_{0}$

이다. 즉, $\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})$는 등급 $\{-k,-k+1,\dotsc ,k-1,k\}$에 대한 복소수 등급 대수이며, $\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})$는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.

임의의 ${\mathfrak {p}}$의 표현 $V$에 대하여, $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},V)$-일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리를 사용하면) 다음과 같다.

$\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V=\bigoplus _{i=-k}^{-1}\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}_{i})\otimes _{K}V$

성질

베르마 가군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}$의 무게 $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }$에 대응하는 ${\mathfrak {g}}$-최고 무게 가군 $V$에 대하여, 유일한 전사 ${\mathfrak {g}}$-표현 준동형

$M_{\lambda }\twoheadrightarrow V$

가 존재한다.

예

${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저

${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{a,a^{\dagger },c\}$

$[a^{\dagger },a]=c$

$[a^{\dagger },c]=-2a^{\dagger }$

$[a,c]=2a$

로 표현될 수 있다. 여기서 ${\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c\}$를 카르탕 부분 대수로, ${\mathfrak {b}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c,a^{\dagger }\}$를 보렐 부분 대수로 잡자.

${\mathfrak {h}}$의 무게는 하나의 복소수 $\lambda \in \mathbb {C}$로 결정된다. 그 기저를 $|\lambda \rangle$로 적자. 즉,

$c|\lambda \rangle =\lambda |\lambda \rangle$

$a|\lambda \rangle =0$

이다.

그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저를 갖는다.

$W_{\lambda }=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\left\{|\lambda \rangle ,\alpha ^{\dagger }|\lambda \rangle ,(\alpha ^{\dagger })^{2}|\lambda \rangle ,\dotsc \right\}$

이 위의 ${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$의 작용은 구체적으로 다음과 같다.

$c(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle =(\lambda -2n)(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle$

$a(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle ={\begin{cases}n(\lambda -n+1)(a^{\dagger })^{n-1}|\lambda \rangle &n>0\\0&n=0\end{cases}}$

만약 $\lambda \in \mathbb {N}$ (음이 아닌 정수)일 경우,

$a(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle =0$

이며, 따라서 베르마 가군 $W_{\lambda }$의 부분 공간

$\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle ,(a^{\dagger })^{\lambda +2}|\lambda \rangle ,\dotsc \}\subseteq W_{\lambda }$

는 $W_{\lambda }$의 부분 가군을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는 ${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$의 $n+1$차원 표현을 이룬다. 이 조건은 $\lambda$가 정수 우세 무게인 것에 해당한다.

역사

다야난드 베르마가 도입하였다.

외부 링크

• “Weyl module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “BGG resolution”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Verma module”. 《nLab》 (영어). 
• “BGG resolution”. 《nLab》 (영어).