주다발

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위상수학에서, 주다발(主-, 영어: principal bundle)은 올이 위상군올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 이고 올이 위상군 인 주다발은 국소적으로 와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 올이 이고 밑이 주다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 올이 올다발
  • 연속 오른쪽 작용

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든 , 에 대하여, . 즉, 각 에 대하여, 는 올 위에 작용한다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 에 대하여, 오른쪽 작용 정추이적 작용이다. 여기서 위의 의 올이다.

두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

만약

매끄러운 주다발(-主-, 영어: smooth principal bundle)이라고 한다.

주다발 사상[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간 ,
  • 위상군
  • -주다발 ,

이 두 주다발 사이의 주다발 사상(영어: principal bundle morphism) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:§1

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

주다발 사상 에서, 만약 이며, 항등 함수이며, 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) 구조군 축소(構造群縮小, 영어: reduction of structure group)라고 한다.

주연장[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 차원 매끄러운 다양체
  • 리 군
  • 위의 매끄러운 -주다발
  • 자연수 (음이 아닌 정수)

그렇다면, 다음과 같은, 위의 올다발을 정의할 수 있다.

여기서

  • 위의 틀다발이다. 이는 위의 주다발이며, 그 올군은 차원 제트 군 이다.
  • 위의 제트 다발이다. 이는 위의 벡터 다발이다.
  • 위의 두 올다발의 곱이다.

즉, 국소적으로 의 점은 다음과 같은 꼴이다.

여기서

  • 은 단사 매끄러운 함수이며, 열린집합이며, 역시 열린집합이다.
  • 의, 에서의 제트이다.
  • 단면이다.

이는 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은

이다. 여기서

이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

이 군은 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

이를 주연장(主延長, 영어: principal prolongation)이라고 한다.[2]:150–151, §15.3[3]:Definition 3.4

성질[편집]

대역적 자명화의 존재[편집]

위상 공간 위의 주다발 에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 )가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면 가 존재하는 것이다. (이는 로 여길 수 있다.)

분류[편집]

위상군 에 대하여, 분류 공간 을 구성할 수 있다. 그렇다면, (에 대한 적절한 조건 아래) 위의 -주다발들의 동형류들은 연속 함수 들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 에 대응하는 주다발은 이다.

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자명 주다발[편집]

임의의 위상 공간 위상군 에 대하여, 는 군 작용

과 사영 사상

을 주면 주다발을 이룬다. 이를 자명 주다발(自明主-, 영어: trivial principal bundle)이라고 한다.

틀다발[편집]

위상 공간 위의 차원 벡터 다발 가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 -주다발을 정의할 수 있으며, 이를 틀다발이라고 한다.

응용[편집]

주다발의 개념은 위상수학미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.

참고 문헌[편집]

  1. “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47 (1): 66–86. 2003년 7월. arXiv:math/0201235. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. 
  2. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 
  3. Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]