틀다발

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위상수학에서, 틀다발(영어: frame bundle)은 임의의 벡터 다발에 대응되는, 일반 선형군을 올로 삼는 특별한 주다발이다.[1]:§4.3, 121–131 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 연관 벡터 다발로서 재구성된다.

정의[편집]

[편집]

차원 실수 벡터 공간 위의 (영어: frame)은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상

제트 이다. (그러나 선형 변환일 필요는 없다.) 이제, 차 틀들의 집합을 라고 표기하자. 그 위에는 제트 군 의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다.

특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환 에 불과하다.[1]:121, §4.3

틀다발[편집]

위상 공간 위의 차원 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 에 대하여 올 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

이 위에는 제트 군 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.

이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, 의 국소 자명화 는 부분 집합 위상 동형

으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수

를 정의할 수 있으며, 이를 통해 에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수

위의, 올 올다발을 이룬다. 또한, 오른쪽 작용을 통하여 이는 -주다발을 이룬다. 이를 틀다발(次-, 영어: th-order frame bundle)이라고 한다.[2]:122, §12.12[3]:Definition 3.2

흔히, 만약 가 생략되었다면 1차 틀다발 를 뜻한다.

군 구조를 갖춘 다양체 위의 틀다발[편집]

직교 틀다발[편집]

다양체 위의 차원 벡터 다발 이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수 ()의 내적 가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 단면

가 주어졌으며, 임의의 에 대하여 위의, 부호수 비퇴화 이차 형식을 이룬다고 하자.

이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

여기서,

  • 는 부호수 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 위에 이차 형식 을 부여한 것이다.
  • 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군 의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 -주다발로 만들 수 있다. 이를 직교 틀다발(直交-, 영어: orthogonal frame bundle)이라고 한다.[2]:94, §10.11

위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래, 대신 특수 직교군 를 사용하여, -주다발특수 직교 틀다발(特殊直交-, 영어: special orthogonal frame bundle) 을 정의할 수 있다.

복소수 틀다발[편집]

위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 차원 벡터 다발 의 경우, 복소수 틀다발(영어: complex frame bundle) 을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 유니터리 틀다발(영어: unitary frame bundle) 을 정의할 수 있으며, 그 올은 이다.

성질[편집]

포함 관계[편집]

부호수 의 내적이 주어진 벡터 다발 를 생각하자. 군의 포함 관계 에 따라, 자연스러운 포함 관계 가 존재한다.

연관 다발과의 관계[편집]

차원 다양체 접다발 의 틀다발 을 생각하자. 이 주다발의, 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발접다발 이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역을 이룬다.

마찬가지로, 차원 일반화 리만 다양체 의 직교 틀다발 을 생각하자. 이 주다발의, 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 이다.

함자성[편집]

국소 미분 동형 사상 이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다.

이에 따라, 차원 매끄러운 다양체국소 미분 동형 사상들의 범주에서, -매끄러운 주다발을 갖춘 차원 매끄러운 다양체매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.[3]:Defintion 3.8

접속[편집]

일반화 리만 다양체 의 직교 틀다발 주접속 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 군 표현 으로부터 다음과 같은 선형 사상을 정의할 수 있다.

이에 따라, 틀다발주접속 로부터 접다발코쥘 접속 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는 등으로 바꿀 수 있다).

반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속이라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》. Series on University Mathematics (영어) 1. World Scientific. ISBN 978-981-02-3494-2. doi:10.1142/3812. 
  2. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. 
  3. Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. Bibcode:2003JGP....47...66G. Zbl 1035.53035. arXiv:math/0201235. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. 

외부 링크[편집]