제트 군

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미분기하학에서, 제트 군(jet群, 영어: jet group) 또는 미분군(微分群, 영어: differential group)은 원점을 보존하는 유클리드 공간자기 미분 동형 사상들의 제트로 구성된 리 군이다.[1]:§18, 128–138 실수 일반 선형군의 고차 일반화이다.

정의[편집]

자연수 가 주어졌다고 하자.

미분 동형 사상 가운데, 인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 자연스럽게 을 이룬다.

차원 차 제트 군(次元次jet群, 영어: -dimensional th-order jet group) 의 원소들의, 에서의 제트들의 집합이다.[1]:119, §12.6[2]:Definition 3.1

이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 또한, 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

이 존재한다.

성질[편집]

의 차원은 다음과 같다.

이며 일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

차원 매끄러운 다양체틀다발은 자연스럽게 를 구조군으로 갖는다.

반직접곱[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 리 군
  • 자연수

그렇다면, 제트 공간

을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 리 군을 이룬다.[2]:Definition 3.3

여기서

는 두 함수의 점별 곱셈이다.

그렇다면, 제트 군 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

이는 군 준동형

을 이룬다. 따라서, 반직접곱

을 정의할 수 있다.[2]:Definition 3.4

[편집]

이거나 또는 인 경우, 제트 군은 자명군이다.

일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

참고 문헌[편집]

  1. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함. 
  2. Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. Zbl 1035.53035. 

외부 링크[편집]