미분기하학에서 제트 군(jet群, 영어: jet group) 또는 미분군(微分群, 영어: differential group)은 원점을 보존하는 유클리드 공간의 자기 미분 동형 사상들의 제트로 구성된 리 군이다.[1]:§18, 128–138 실수 일반 선형군의 고차 일반화이다.
자연수
과
가 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)=\left\{f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} }(\mathbb {R} ^{n}),\;f(0)=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df41e87126030c60da5cc32517978210dbcdb01)
가 미분 동형 사상
가운데,
인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다.
차원
차 제트 군(
次元
次jet群, 영어:
-dimensional
th-order jet group)
는
의 원소들의,
에서의
차 제트들의 집합이다.[1]:119, §12.6[2]:Definition 3.1
![{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\left\{\mathrm {j} _{0}^{k}f\colon f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7296245f434aab5740f374e2e50f334d39563721)
이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 또한, 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.
![{\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}f)(\mathrm {j} _{0}^{k}g)=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c410dbfe269f6a17b1cc79e1acf4b9e528deb0)
즉, 자연스러운 전사 군 준동형
![{\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}\colon \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\to \operatorname {Jet} (n,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb4cc264c7bda89d0030fa86679761fbcbfd4bd)
이 존재한다.
의 차원은 다음과 같다.
![{\displaystyle \dim \operatorname {Jet} (n,k)=n\left({\binom {n+k}{k}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07903ae8a286fb0d2e4cf7b10c20c249dd2dbeba)
이며
일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.
차원 매끄러운 다양체의
차 틀다발은 자연스럽게
를 구조군으로 갖는다.
반직접곱[편집]
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 리 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
- 자연수
과 ![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
그렇다면, 제트 공간
![{\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G=\{\mathrm {j} _{0}^{k}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc5f9fd89faa6afa316eaa4c911a6b806bec7e2)
을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 리 군을 이룬다.[2]:Definition 3.3
![{\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}g)(\mathrm {j} _{0}^{k}g')=\mathrm {j} _{0}^{k}(gg')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099d30d38aa97efed26761df1f11a23b73d64a0a)
여기서
![{\displaystyle gg'\colon x\mapsto g(x)g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d19048bf130ab2a45bd2c9486be1e65cb643c6)
는 두 함수의 점별 곱셈이다.
그렇다면, 제트 군
는
위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.
![{\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}g)\cdot (\mathrm {j} _{0}^{k}f)=\mathrm {j} _{0}^{k}(g\circ f)\qquad (f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\;g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ba13653dab79c3549fe0d1e1996f9edb5fef7e)
이는 군 준동형
![{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Aut} (\mathrm {T} _{n}^{k}G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0d115d69c8417ab5f53c409e90bd28f27cfe1f)
을 이룬다. 따라서, 반직접곱
![{\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{k}G\rtimes \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1a27b7262efc28eae71cf93e98a621410b5051)
을 정의할 수 있다.[2]:Definition 3.4
이거나 또는
인 경우, 제트 군은 자명군이다.
![{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,0)=\operatorname {Jet} (0,k)=1\qquad \forall n,k\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0341cfa850cf3704d27db0cc03c5bfd61a5a276f)
일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.
![{\displaystyle \operatorname {Jet} (n,1)=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\qquad \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd31589584dcb3bceed1bd21cabf4ab787ae2aa6)
외부 링크[편집]