제트 (수학)

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미분기하학에서, 제트(영어: jet)는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 제트 다발(영어: jet bundle)이라는 올다발단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)

정의[편집]

차원 매끄러운 다양체 위의 올다발 이 주어졌다고 하자. 또한, 의 올 역시 차원의 매끄러운 다양체라고 하자.

근방에 정의되는, 의 매끄러운 단면의 공간을 라고 표기하자.

제트[편집]

의 두 매끄러운 국소 단면 에서 같은 차 제트(영어: th jet)를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.

임의의 의 국소 좌표계 및 의 국소 자명화 및 다중지표 에 대하여, 만약 이라면

즉, 에서의 차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 에서의 차 제트를 로 표기한다.

제트 공간[편집]

임의의 에 대하여, 차 제트들의 집합 에는 다음과 같이

차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. 에서의 국소 좌표계 및 이를 확장하는 에서의 국소 좌표계 가 주어졌다면,

의 국소 좌표계를 정의한다. 차 제트 공간(次jet空間, 영어: th jet space)이라고 한다.

차 제트 공간에서 차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

그러나 차 제트 공간에서 차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

제트 다발[편집]

위에, 차 제트 공간 을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 제트 다발 이라고 한다. 즉, 제트 다발 의 전체 공간은 차원이다.

자연스러운 사영 이 존재하므로, 이는 위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상

이 존재한다. 차 제트 연장(次jet延長, 영어: th jet prolongation)이라고 한다.

제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

무한 제트 다발[편집]

제트 다발 사이에는 사영 사상

이 존재한다. 이에 대한 역극한

무한 제트 다발(영어: infinite jet bundle)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 줄 수 있다.

편미분 방정식[편집]

매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 위의, 올다발 의 단면에 대한 편미분 방정식차 제트 다발 의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 이다. 편미분 방정식 (解, 영어: solution)는 제트 연장 에 속하는, 의 매끄러운 단면 이다.

변분 이중 복합체[편집]

무한 제트 다발 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다. 위의 미분 형식 공간 에서, 차수 은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

  • 방향의 차수 . 이를 수평 차수(영어: horizontal degree)라고 한다.
  • 무한 제트 다발의 올 방향의 차수 . 이를 수직 차수(영어: vertical degree)라고 한다.

따라서,

가 된다. 이를 변분 이중 복합체(變分二重複合體, 영어: variational bicomplex)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분 역시 수평 방향 와 수직 방향 로 분해할 수 있다.

이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.

예를 들어, 차원 시공간 위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 의 단면 이 되고, 라그랑지언 밀도미분 형식 이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용

을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식

가 된다.

성질[편집]

올다발 위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체(영어: Euler–Lagrange complex)를 정의할 수 있다.

여기서

을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계

가 존재한다.

오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 드람 코호몰로지와 동형이다.

[편집]

0차 제트[편집]

임의의 올다발

의 0차 제트 다발은 이다.

즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.

자명한 올다발의 1차 제트[편집]

자명한 올다발

의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.

매끄러운 함수 의 1차 제트는 함수의 미분이다.

여기서 은 각각 공변접다발접다발이다.

따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은

이다. 여기서

곱공간의 자연스러운 사영 사상이며, 은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발당김이다.

특히, 일 경우

이며, 반대로 일 경우

이다. 후자에서 인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로, 의 국소 좌표계 를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.

일반적 올다발의 1차 제트[편집]

올과 밑공간이 매끄러운 다양체올다발

을 생각하자. 이 경우, 올다발접다발 의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발(영어: vertical bundle) 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

즉, 올다발 의 수직 다발 의 올 의 올의 접공간이다. 위의 차원 벡터 다발을 이룬다.

그렇다면, 위의 1차 제트 다발은 ( 위의 올다발로서) 다음과 같다.

단면 는 (이므로) 위의 값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한, 다발 사상 로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,

가 되어, 를 수평 다발로 여길 수 있다.

피복 공간의 제트[편집]

피복 공간

은 올이 개의 점의 이산 공간올다발이다. 이 경우, 의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의 에 대하여 차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,

가 된다.

역사[편집]

제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Ehresmann, C. (1953). 〈Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie〉. 《Géométrie différentielle: Colloque international du Centre national de la recherche scientifique tenu à Strasbourg, 26 mai – 1 juin 1953》. Colloques internationaux du Centre national de la recherche scientifique (프랑스어) 52. Centre national de la recherche scientifique. 97-127쪽. OCLC 27311357. 

외부 링크[편집]