점을 가진 공간

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호모토피 이론에서, 점을 가진 공간(영어: pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

정의[편집]

범주 \mathcal C끝 대상 1\in\mathcal C을 갖는다고 하자.

\mathcal C 위의 점을 가진 범주(영어: pointed category) \mathcal C_\bullet쌍대 조각 범주 1\backslash\mathcal C이다. 즉,

  • \mathcal C_\bullet의 대상은 \mathcal C의 사상 \bullet_X\colon 1\to X이다. 이는 X와 그 속의 "점" \bullet_X의 순서쌍으로 생각할 수 있다. 이를 (X,\bullet_X밑점(-點, 영어: basepoint)이라고 한다.
  • \mathcal C_\bullet의 대상 (X,\bullet_X),(Y,\bullet_Y)\in\mathcal C_\bullet 사이의 사상 f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)은 다음 그림을 가환하게 하는 \mathcal C에서의 사상 f\colon X\to Y이다.
    \begin{matrix}
1&\xrightarrow{\bullet_X}& X\\
&{\scriptstyle\bullet_Y}\!\!\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\
&&Y
\end{matrix}

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

성질[편집]

시작 대상 1\in\mathcal C을 가진 범주 \mathcal C 위의 점을 가진 범주 \mathcal C_\bullet는 항상 영 대상 1\in\mathcal C_\bullet을 가진다.

영 대상을 가진 범주 \mathcal C 위의 점을 가진 범주는 \mathcal C동치이다. 즉, 범주 \mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • \mathcal C영 대상을 가진다.
  • \mathcal C\simeq\mathcal D_\bullet인, 시작 대상을 가진 범주 \mathcal D가 존재한다.

망각 함자[편집]

시작 대상 1\in\mathcal C을 가진 범주 \mathcal C 위의 점을 가진 범주 \mathcal C_\bullet는 원래 범주 \mathcal C로 가는 자연스러운 망각 함자

F\colon\mathcal C_\bullet\to\mathcal C

를 갖는다.

만약 \mathcal C유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

(-)_+\colon\mathcal C\to\mathcal C_\bullet
(-)_+\colon (X\in\mathcal C)\mapsto X_+=(X\sqcup1,1\hookrightarrow X\sqcup1)
(-)_+\dashv F

를 갖는다. 이를 밑점 추가(영어: adjoining disjoint basepoint)라고 한다.

분쇄곱[편집]

(\mathcal C,\otimes)유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면 \mathcal C_\bullet 역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. \mathcal C_\bullet에서의 텐서곱은 분쇄곱(영어: smash product) \wedge이라고 한다. 또한, 만약 (\mathcal C,\otimes)대칭 모노이드 범주라면 (\mathcal C_\bullet,\wedge) 역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로, \mathcal C_\bullet 속의 두 대상 (X,\bullet_X), (Y,\bullet_Y)분쇄곱 (X,\bullet_X)\wedge(Y,\bullet_Y)은 다음과 같은 이다.

\begin{matrix}
(X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)&\to&1\\
\downarrow&&\downarrow\\
X\otimes Y&\to&X\wedge Y
\end{matrix}

이 네모의 왼쪽 변은

\otimes\bullet_Y\colon X\otimes1\to X\otimes Y
\bullet_X\otimes\colon 1\otimes Y\to X\otimes Y

로부터 유도되는 사상

(\otimes\bullet_Y)\sqcup(\bullet_X\otimes)
\colon (X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)\to X\otimes Y

이다.

\mathcal C_\bullet에서의 지수 대상 [-,-]_\bullet은 다음과 같은 당김이다.

\begin{matrix}
[X,Y]_\bullet&\to&1\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle{\bullet_Y}\\
{}[X,Y]&\xrightarrow[\circ{\bullet_X}]{}&[1,Y]
\end{matrix}

[X,Y]_\bullet의 점은 유일한 사상 X\to 1\xrightarrow{\bullet_Y}Y에 대응한다.

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점을 가진 집합[편집]

집합의 범주에서, 시작 대상한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합(영어: pointed set)의 범주 \operatorname{Set}_\bullet의 원소는 집합 S와 그 속의 원소 \bullet_S\in S의 순서쌍 (S,\bullet_S)이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

점을 가진 공간[편집]

위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서 끝 대상한원소 공간 \{\bullet\}이며, 한원소 공간에서 위상 공간 X로 가는 연속 함수 \{\bullet\}\to XX 속의 한 점 \bullet_X\in X을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간(영어: pointed space) (X,x_0)위상 공간 X와 그 속의 한 점 x_0\in X로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주 \operatorname{Top_\bullet}의 사상인 점을 보존하는 연속 함수(영어: basepoint-preserving continuous map) f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)

f(\bullet_X)=\bullet_Y

연속 함수이다.

영 대상을 가진 범주[편집]

의 범주 \operatorname{Grp}아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}, 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.

예를 들어, 모든 또는 아벨 군 G에 대하여, 항등원 1_G\in G는 그 "점"을 이룬다.

바깥 고리[편집]