사다리 연산자

양자역학에서, 사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의

주어진 에르미트 연산자 $N$에 대하여, 연산자 $X$가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$를 $N$의 사다리 연산자라고 한다.

$[N, X] = c X$

여기서 c 는 어떤 실수이다. c 가 양수인 경우를 올림 연산자, 음수인 경우를 내림 연산자라 한다. 이 경우 자동적으로

$[N,X^\dagger]=-cX^\dagger$

가 된다.

사다리 연산자가 주어지면, $N$과 $X$, $X^\dagger$의 대수의 표현을 지을 수 있다. |n〉 이 N 의 고윳값이 n 인 고유벡터라 하자.

$N|n\rangle = n|n\rangle$

그렇다면

$X|n\rangle\sim|n+c\rangle$

$X|n\rangle\sim|n-c\rangle$

이다. 따라서, 예를 들어 $c>0$이며 $N$의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 $|n_{\text{max}}\rangle$가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자를 사용하여

$|n\rangle,X|n\rangle,X^2|n\rangle,\dots$

와 같이 지을 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자$X^\dagger$를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 지을 수 있다.

예

양자 조화 진동자

이 부분의 본문은 양자 조화 진동자입니다.

사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

$[x,p]=i$

의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 $a$와 생성 연산자 $a^\dagger$ 및 입자수 연산자 $N$을 다음과 같이 정의하자.

$a=(x+ip)/\sqrt2$

$a^\dagger=(x-ip)/\sqrt2$

$N=a^\dagger a$

여기서 $N$은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, $x$와 $p$는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

$[N,a]=-a$

$[H,a^\dagger]=a^\dagger$

$[a,a^\dagger]=1$

이다. 따라서, $N$의 고유벡터 $|n\rangle$이 주어지면

$a^\dagger|n\rangle\propto|n+1\rangle$

$a|n\rangle\propto|n-1\rangle$

$N|n\rangle=n|n\rangle$

이 된다. 즉, 바닥 상태 $|0\rangle$으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

$\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|0\rangle,a^\dagger|0\rangle,(a^\dagger)^2|0\rangle,\dots\right\}$

각운동량

이 부분의 본문은 각운동량 연산자입니다.

양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 $J_1,J_2,J_3$은 SU(2)의 리 대수

$[J_i,J_j]=i\epsilon^{ijk}J_k$

를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.

$J_+ = J_1 + iJ_2$,

$J_- = J_1 - iJ_2=(J_+)^\dagger$

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

$[J_3,J_\pm] = \pm J_\pm$

따라서, 상태들을 $J_3$의 고유상태 $|m\rangle$로 나타내면,

$J_\pm|m\rangle\propto|m\pm1\rangle$

이 된다. 최고 스핀 상태 $|l\rangle$는 $J_+$로 상쇄되는 상태이다.

$J_+|l\rangle=0$

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

$\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|l\rangle,J_-^\dagger|0\rangle,(J_-)^2|0\rangle,\dots\right\}$

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, $l$은 정수 또는 반정수이며, 또한

$(J_-)^{2l+1}|l\rangle=0$

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 $2l\in\mathbb N$에 의해 결정되며, 그 차원은 $2l+1$이다.

단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

등각 대수

이 부분의 본문은 등각 대칭입니다.

이 부분의 본문은 등각 장론입니다.

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

$[D,K_\mu]=-iK_\mu$

$[D,P_\mu]=iP_\mu$

$[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}$

$[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu )$

$[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)$

$[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})$

따라서, $-iD$에 대하여,

$[-iD,K_\mu]=-K_\mu$

$[-iD,P_\nu]=P_\mu$

이므로, 특수 등각 변환 $K$는 내림 연산자, 운동량 $P$는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우 $D$가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. $K$에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(영어: primary state)라고 하며, 이는 $D$와 $M_{\mu\nu}$에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 $P$를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(영어: secondary state)라고 한다.

비라소로 대수

이 부분의 본문은 비라소로 대수입니다.

이 부분의 본문은 등각 장론입니다.

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}\quad(m,n\in\mathbb Z)$

따라서, $L_0$에 대하여, $L_n$은 내림 연산자, $L_{-n}$은 올림 연산자이다 ($n>0$).

$[L_0,L_n]=-nL_n$

$[L_0,L_{-n}]=nL_{-n}$

등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(영어: primary state) $|h\rangle$로 알려져 있으며, $L_0$의 고윳값 $h$로 나타내어진다.

$L_0|h\rangle=h|h\rangle$

$L_n|h\rangle=0\forall n>0$

일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 $L_{-n}$을 가하여 만들 수 있다.

$\mathcal H_h=\operatorname{Span}\{|h\rangle,L_{-1}|h\rangle,L_{-1}^2|h\rangle,L_{-2}|h\rangle,L_{-1}^3|h\rangle,\dots\}$

이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군(영어: Verma module)이라고 한다.

참고 문헌

• Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics[[분류:영어 표기를 포함한 문서|사다리 연산자]]》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927.