양자역학에서 사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.
주어진 에르미트 연산자
에 대하여, 연산자
가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우
를
의 사다리 연산자라고 한다.
![[N,X]=cX](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f28c80ca3ecb2e7f1456685852aab2fcb39c42)
여기서 c는 어떤 실수이다.
사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.
![\begin{align}
NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\
&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\
&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\
&= (n+c)X|n\rangle.
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaf3806c2784f9cf5f57319df09bc3ff695e511)
즉,

이다. c 가 양수인 경우
는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에
를 올림 연산자, c가 음수인 경우
는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에
를 내림 연산자라 한다.
사다리 연산자
의 에르미트 수반 연산자
또한 사다리 연산자이며
![[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06bc75ff8fd4041f4a5d1c1c14f99234ac68ead)
고유벡터의 고유값을
의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.
사다리 연산자가 존재하면,
의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어,
이며
의 최대 고윳값을 가진 고유벡터
가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자
를 사용하여

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자
를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.
양자 조화 진동자[편집]
사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계
![[x,p]=i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68322d6a3131d29b89c3b525d5380b219a220821)
의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자
와 생성 연산자
및 입자수 연산자
을 다음과 같이 정의하자.



여기서
은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며,
와
는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면
![[N,a]=-a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da35166602966603876e0f2d1448acdd259ffeb)
![[H,a^{\dagger }]=a^{\dagger }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855dbffcf608d2dd312ece6e774b884580c4541a)
![[a,a^{\dagger }]=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671da8b1eb59fe1c04e601cc7963a6511d88c74e)
이다. 따라서,
의 고유벡터
이 주어지면



이 된다. 즉, 바닥 상태
으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

각운동량[편집]
양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자
은 SU(2)의 리 대수
![[J_{i},J_{j}]=i\epsilon ^{{ijk}}J_{k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913fba391e44ef2971db5ad3f4a2e50f8533abae)
를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.
,

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.
![[J_{3},J_{\pm }]=\pm J_{\pm }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab12531cf90aaf0bd1cdaef6029d21f90d63f29)
따라서, 상태들을
의 고유상태
로 나타내면,

이 된다. 최고 스핀 상태
는
로 상쇄되는 상태이다.

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면,
은 정수 또는 반정수이며, 또한

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량
에 의해 결정되며, 그 차원은
이다.
단순 리 군[편집]
SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다.[1] 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.
등각 대수[편집]
등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.
![[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe282999c2e8b27e714a79fcd18900d549276fb6)
![[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d10ce6935bf12caa13f5c5d4c675a7dec02426)
![[K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f31ccad0320f08193d80898ed5092d9b9f023e0)
![[K_{\mu },M_{{\nu \rho }}]=i(\eta _{{\mu \nu }}K_{{\rho }}-\eta _{{\mu \rho }}K_{\nu })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3039926f3c8fc22f0062845e0a7bec49356d86b2)
![[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e21b9622220f54b72629dfc298e0c169cff642e)
![[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817bdd419862402217b41313b81f9526876ad9fa)
따라서,
에 대하여,
![[-iD,K_{\mu }]=-K_{\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a4b5fada51d7e7ae2aad9f17897debc6884894)
![[-iD,P_{\nu }]=P_{\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1609b9840b91cbc9c61ed34c5ebdfa16e43ef3f9)
이므로, 특수 등각 변환
는 내림 연산자, 운동량
는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우
가 해밀토니언의 역할을 하게 된다.
에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(영어: primary state)라고 하며, 이는
와
에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에
를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(영어: secondary state)라고 한다.
비라소로 대수[편집]
비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.
![[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{{m+n}}+{\frac c{12}}(m+1)m(m-1)\delta _{{m+n}}\quad (m,n\in {\mathbb Z})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7315c91e10db807681d2747139dd1ba0281bc25)
따라서,
에 대하여,
은 내림 연산자,
은 올림 연산자이다 (
).
![[L_{0},L_{n}]=-nL_{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf5bf6711eb3ca23a389e03f52170c4ade21732)
![[L_{0},L_{{-n}}]=nL_{{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91535a714b9b9d43f44823fc7947624ba298c6c)
등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(영어: primary state)
로 알려져 있으며,
의 고윳값
로 나타내어진다.


일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자
을 가하여 만들 수 있다.

이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군이라고 한다.
참고 문헌[편집]