양자통계역학

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양자통계역학양자역학적인 시스템의 앙상블을 다루는 학문을 일컫는다. 고전통계역학에서는 계의 상태가 위상 공간의 한 점으로 나타내어 졌다면, 양자통계역학에서는 힐베르트 공간에서의 벡터인 로 나타내어진다. 또한 고전통계역학에서의 위상 공간 밀도(위상 공간 상에서의 미시상태의 밀도)는 양자통계역학에서 밀도 연산자 , 또는 밀도 행렬 {}에 대응된다. 밀도 연산자는 음이 아니고 자기수반하며 양자역학적 시스템을 기술하는 힐베르트 공간 H에서 대각합이 1이다.

기댓값[편집]

양자역학에서 관측가능량(observable) 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 관측가능량 에 대응되는 연산자이고 E는 기저벡터가 에너지의 고유벡터들로 선택되었다는 것을 나타내며, (i)는 쓰인 벡터가 i번째 기저벡터임을 나타낸다.

한편, 동일한 계를 여러 번 관측했을 때의 통계적인 기댓값은 다음과 같다.

밀도 연산자[편집]

임의의 기저공간의 기저벡터가 라고 하면, 다음과 같이 밀도 행렬의 성분 밀도 연산자를 정의할 수 있다.

여기서 의 대각합이다. 기저벡터를 로 잡았을 때 는 밀도 행렬의 번째 성분에 해당되며, 밀도 연산자와는 아래와 같은 관계를 가진다.

밀도 연산자는 규격화 조건에 의해

을 만족하며, 에르미트 연산자이므로

도 만족한다.

의 시간에 대한 편미분이 0이고 가 헤밀토니언일 때

임이 알려져 있고, 따라서 에너지 고유벡터가 가장 편리한 기저벡터이며, 이러한 기저 공간에서 밀도 행렬의 성분은 을 만족하게 된다.

작은 바른틀 앙상블[편집]

에너지 기저 공간에서의 작은 바른틀 앙상블(microcanonical ensemble)은 다음과 같이 기술된다.

바른틀 앙상블[편집]

에너지 기저 공간에서의 바른틀 앙상블은 다음과 같이 기술된다.

임의의 기저 공간에서는 밀도 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 이고, 볼츠만 상수, 는 절대온도이다. 분모는 바른틀 분배함수 이므로 아래와 같이 열역학 변수들을 유도할 수 있다.

큰 바른틀 앙상블[편집]

에너지 기저 공간에서의 큰 바른틀 앙상블은 다음과 같이 기술된다.

임의의 기저 공간에서는 밀도 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기에서 화학 퍼텐셜, 입자 개수 연산자이다. 분모는 큰 바른틀 분배함수 이다. 엔트로피 와 큰 퍼텐셜 는 다음과 같이 구할 수 있다.