양자 논리

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논리학양자역학에서, 양자 논리(量子論理, 영어: quantum logic)는 양자역학의 상태 공간의 대수적인 이론을 논리학적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리(불 대수)와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 분배법칙이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

전개[편집]

양자 논리에서는 양자역학에서의 상태 공간인 힐베르트 공간에 대한 대상들을 논리적인 대상으로 해석한다. 우리가 상태 공간이 인 양자역학으로 기술되는 우주에 살고 있다고 하고, 우리 우주의 현재 상태가 라고 하자. (복소 위상은 임의로 정할 수 있다.) 의 닫힌 부분 벡터 공간이라고 할 때, 이에 대한 사영 연산자

를 정의할 수 있다. 사영 연산자 고윳값이 0 또는 1인 에르미트 연산자이며, 따라서 (초선택 규칙을 무시하면) 관측할 수 있다. 그렇다면, 닫힌 부분공간 를 "를 관측하였을 때, 1을 얻을 것이다."라는 꼴의 명제로 해석할 수 있다.

주요 대응되는 대상은 다음과 같다.

힐베르트 공간 논리학
닫힌 부분 벡터 공간 명제
힐베르트 공간 전체
0차원 부분공간 거짓
두 닫힌 부분공간의 합공간 두 명제의 논리합
두 닫힌 부분공간의 교집합 두 명제의 논리곱
닫힌 부분공간의 직교 여공간 명제의 부정
두 닫힌 부분집합의 일치 명제의 동치
두 닫힌 부분집합의 포함 관계 명제의 함의
두 닫힌 부분집합의 직교 관계 두 명제의 독립성 (고전 논리학에 대응하지 않음)

이 연산들에 대하여, 주어진 힐베르트 공간 의 닫힌 부분공간들은 격자의 구조를 가지며, 정확히 말하면 직교모듈러격자(영어: orthomodular lattice)의 구조를 만족시킨다. 이 경우, 논리합()·논리곱()·부정() 연산자들이 양자 논리에서 만족시키는 공리들은 다음과 같다.

  • (논리곱의 결합법칙)
  • (논리합의 결합법칙)
  • (논리곱의 교환법칙)
  • (논리합의 교환법칙)
  • (이중 부정의 상쇄)
  • (배중률)
  • (비모순율)
  • (드 모르간의 법칙) ,
  • (논리곱의 흡수법칙) ,
  • (논리합의 흡수법칙) ,

또한, 다음과 같은 추론법이 성립한다. 여기서 로부터 를 유추한다는 뜻이다.

  • (대우의 유추)
  • (직교모듈러성)

여기서 함의 관계 는 동치 관계를 사용해 또는 로 정의된다.

고전 논리와의 비교[편집]

고전 논리에서의 명제들은 불 대수를 이루며, 이는 직교모듈러 격자보다 더 강한 공리들을 만족시킨다. 고전 논리에서 성립하지만, 양자 논리에서 성립하지 않는 주된 공리는 분배법칙이다. 즉, 고전 논리에서는 다음 두 분배법칙이 성립한다.

  • (논리곱의 논리합에 대한 분배법칙)
  • (논리합의 논리곱에 대한 분배법칙)

그러나 양자 논리에서는 두 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,

일 때,

이다.

다만, 서로 독립되는 명제들(대응되는 부분집합들이 모두 서로 직교 관계에 있는 경우)의 경우에는 분배법칙을 비롯한 고전 논리 전부가 성립한다.

[편집]

양자 논리를 사용하여, 스핀과 같은 양자역학적 현상들을 논리학적으로 서술할 수 있다. 스핀이 ½인 페르미온은 임의의 방향의 스핀 성분을 측정할 때, 항상 또는 를 얻는다. 이 입자의 힐베르트 공간은

이다. 이에 대하여, 다음과 같은 명제들을 정의하자. (이들은 파울리 행렬의 고유벡터들이다.)

  • : 스핀의 x성분이 이다. 이 명제는 에 대응한다.
  • : 스핀의 y성분이 이다. 이 명제는 에 대응한다.
  • : 스핀의 z성분이 이다. 이 명제는 에 대응한다.

이들로부터 다음을 유추할 수 있다. 이며 라고 하자.

  • . 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리합은 항상 참이다.
  • . 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리곱은 항상 거짓이다.
  • . 즉, 서로 다른 방향에 대한 두 명제는 서로를 함의하지 않는다.

물론, 이는 고전 논리에서는 불가능하다.

역사[편집]

개릿 버코프(영어: Garrett Birkhoff)와 존 폰 노이만이 1936년에 도입하였다.[1] 이후 힐러리 퍼트넘은 1969년 논문 〈논리학은 경험적인가?〉(영어: Is logic empirical?)에서 고전 논리를 대신 양자 논리로 대체하여야 한다고 주장하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Birkhoff, Garrett; J. von Neumann (1936). “The logic of quantum mechanics”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 37 (4): 823–843. doi:10.2307/1968621. JSTOR 1968621. 
  2. Putnam, H. (1969). 〈Is logic empirical?〉. 《Proceedings of the Boston colloquium for the philosophy of science 1966/1968》. Boston Studies in the Philosophy of Science (영어) 5. Springer. 216–241쪽. doi:10.1007/978-94-010-3381-7_5. ISBN 978-94-010-3383-1. ISSN 0068-0346.  재출판 Putnam, H. (1979). 〈The logic of quantum mechanics〉 (PDF). 《Mathematics, matter and method》 (영어) 2판. Cambridge University Press. 174-197쪽. doi:10.1017/CBO9780511625268.012. ISBN 978-052122553-3. 
  • Auyang, S. (1995). 《How is quantum field theory possible?》 (영어). Oxford University Press. 
  • Bayen, F.; M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer (1978). “Deformation theory and quantization I”. 《Annals of Physics》 (영어) 111: 61-110. 
  • Bayen, F.; M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer (1978). “Deformation theory and quantization II”. 《Annals of Physics》 (영어) 111: 111-151. 
  • Cohen, D. (1989). 《An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic》 (영어). Springer. 
  • Finkelstein, D. (1969). 《Matter, space and logic》. Boston Studies in the Philosophy of Science (영어) 5. 
  • Gleason, A. (1957). “Measures on the closed subspaces of a Hilbert space”. 《Journal of Mathematics and Mechanics》 (영어). 
  • Kadison, R. (1951). “Isometries of operator algebras”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 54: 325-338. 
  • Ludwig, G. (1983). 《Foundations of quantum mechanics》 (영어). Springer. 
  • Mackey, G. (1963). 《Mathematical foundations of quantum mechanics》 (영어). W. A. Benjamin. 
  • von Neumann, J. (1955). 《Mathematical foundations of quantum mechanics》 (영어). Princeton University Press. 
  • Omnès, R. (1999). 《Understanding quantum mechanics》 (영어). Princeton University Press. 
  • Papanikolaou, N. (2005). “Reasoning formally about quantum systems: An Overview”. 《ACM SIGACT News》 (영어) 36 (3): 51–66. 
  • Piron, C. (1976). “Foundations of quantum physics” (영어). W. A. Benjamin. 
  • Weyl, H. (1950). 《The theory of groups and quantum mechanics》 (영어). Dover Publications. 

바깥 고리[편집]