등각 대칭

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양자장론에서, 등각 대칭(等角對稱, 영어: conformal symmetry)은 양자장론이 가질 수 있는 대칭의 하나이다.[1] 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론등각 장론이라 한다.

정의[편집]

d차원 민코프스키 공간등각 대칭군\operatorname{SO}(d,2)이다. 이는 푸앵카레 군 \operatorname{ISO}(d-1,1)부분군으로 포함한다.

\mu,\nu,\dots\in\{1,2,\dots,d\}라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.

기호 이름 성분 수 등각 차원
M_{\mu\nu} 회전 및 로런츠 변환 d(d-1)/2 0
P_\mu 병진 변환 d +1
D 확대 변환 1 0
K_\mu 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation) d −1

이 가운데 M만 남기면 로런츠 군, MP만 남기면 푸앵카레 군이 된다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.[1]:(4.19)

[D,K^\mu]=-iK^\mu
[D,P_\mu]=iP_\mu
[K_\mu,P_\nu]=2i(\eta_{\mu\nu}D-M_{\mu\nu})
[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_\rho - \eta_{\mu \rho} K_\nu)
[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)
[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

여기서 \eta_{\mu\nu}는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

방사 양자화(영어: radial quantization) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. (등각 장론에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)

D^\dagger=-D
(P_\mu)^\dagger=K^\mu
(M_{\mu\nu})^\dagger=M^{\mu\nu}

등각 대칭군이 \operatorname{SO}(d,2)임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자.

M_{-1,0}=D
M_{-1,\mu}=\frac12(P_\mu-K_\mu)
M_{0,\mu}=\frac12(P_\mu+K_\mu)

그렇다면, 지표 M,N\in\{-1,0,1,\dots,d\}에 대하여 M_{M,N}\operatorname{SO}(d,2)의 표준적인 생성원을 이룬다.

[M_{MN},M_{PQ}]=i(\eta_{MQ}J_{NP}+\eta_{NP}J_{AQ}-\eta_{MP}M_{NQ}-\eta_{NQ}J_{MP})
(M_{MN})^\dagger=M^{MN}

여기서

\eta_{-1,-1}=-1
\eta_{0,0}=1

이다.

표현[편집]

등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.[1]:98, (4.18)

M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)
P_\mu \equiv-i\partial_\mu
D\equiv-ix_\mu\partial^\mu
K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)

4차원의 경우, 등각 대칭군 \operatorname{SO}(4,2)\sim\operatorname{SU}(2,2)의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.[2][3]

참고 문헌[편집]

  1. Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-94785-X. 
  2. Mack, G. (1977). “All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 55 (1): 1–96. Bibcode:1977CMaPh..55....1M. doi:10.1007/BF01613145. MR 0447493. Zbl 0352.22012. 
  3. Knapp, A.W.; B. Speh (1982년 1월). “Irreducible unitary representations of SU(2, 2)”. 《Journal of Functional Analysis》 (영어) 45 (1): 41–73. doi:10.1016/0022-1236(82)90004-0. Zbl 0543.22011.