산란 행렬

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산란 이론에서, 산란 행렬(散亂行列, 영어: scattering matrix) 또는 S행렬이란 산란 과정을 겪는 의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니타리 행렬이다. 기호는 S. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 복소수 힐베르트 공간
  • 자기 수반 작용소 , . 이를 자유 해밀토니언(영어: free Hamiltonian)이라고 하자.
  • 자기 수반 작용소 , . 이를 상호 작용 해밀토니언(영어: interacting Hamiltonian)이라고 하자.

복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해

로 분해할 수 있다. 여기서

  • 는 완전 연속 스펙트럼(영어: purely continuous spectrum)에 대응한다.
  • 는 특이 연속 스펙트럼(영어: singular continuous spectrum)에 대응한다.
  • 는 순수 점 스펙트럼(영어: purely point spectrum)에 대응한다.

마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소

를 정의할 수 있다.

또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학(영어: Borel functional calculus)을 통해, 유계 함수이므로, 임의의 에 대하여 유니터리 작용소

를 정의할 수 있다.

이제, 에 대한 파동 연산자(波動演算子, 영어: wave operator)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.[1]:Definition 1.1

여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 치역라면 파동 연산자를 완비 파동 연산자(完備波動演算子, 영어: complete wave operator)라고 하며,[1]:Definition 1.2 이는 사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다.

에 대한 산란 연산자(散亂演算子, 영어: scattering operator) 또는 산란 행렬은 다음과 같다.[1]

만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환

를 정의한다.

간혹 T 연산자 로 정의하기도 한다. 즉, 에 제한하면, 이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

성질[편집]

파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.

위그너 정리에 따라, 만약 가 둘 다 완비라면,

유니터리 작용소이다.

존재 조건[편집]

르베그 공간 위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각하자.

여기서 는 어떤 실수이며, 라플라스 연산자이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.

  • [1]:Theorem 1.7
  • 이며, [1]:Theorem 2.4

반면, 예를 들어 , 일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.[1]:§3.1

응용[편집]

하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 와 나중 상태의 포크 공간 를 다음과 같이 적을 수 있다.

이들은 자유 해밀토니언 의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 는 다음과 같이 표현된다.

.

양자 장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자 장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.

  • (진공에서의 항등성)
  • (단입자 상태에서의 항등성)

이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

역사[편집]

산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Yafaev, Dmitri (2004). “Lectures on scattering theory” (영어). Bibcode:2004math......3213Y. arXiv:math/0403213. 
  2. Wheeler, John Archibald (1937). “On the mathematical description of light nuclei by the method of resonating group structure”. 《Physical Review》 (영어) 52 (11): 1107–1122. Bibcode:1937PhRv...52.1107W. doi:10.1103/PhysRev.52.1107. 
  • Yafaev, Dmitry R. (1995). 《Mathematical scattering theory: the general theory》. Translations of Mathematical Monographs (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0951-8. 
  • Yafaev, Dmitry R. (2010). 《Mathematical scattering theory: analytic theory》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 158. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/158. 
  • Baumgärtel, Hellmut; Wollenberg, Manfred (1983). 《Mathematical Scattering Theory》. Operator theory: advances and applications (영어) 9. ISBN 978-3-0348-5442-9. 
  • Simon, Barry (1978). 〈An overview of rigorous scattering theory〉 (PDF). Nuttal, J. 《Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects》 (영어). University of West Ontario. 1–24쪽. 
  • Reed, Michael; Simon, Barry (1979). 《Scattering Theory》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) 3. Academic Press. 

같이 보기[편집]