질량 간극

양자장론에서 질량 간극(質量間隙, 영어: mass gap)은 최저 에너지 상태인 진공과 그 다음으로 낮은 에너지 상태 사이의 에너지 차이이다. 진공의 에너지는 정의상 0이며, 모든 에너지 상태를 평면파의 입자로 생각할 수 있다고 가정하면, 질량 간극은 가장 가벼운 입자의 질량이다.

엄밀한(즉, 비섭동적인) 에너지 고유 상태의 에너지는 분산되어 있어 엄밀히 말하면 고유 상태가 아니기 때문에, 더 정확한 정의는 질량 간극이 진공에 직교하는 임의의 상태 에너지의 최대 하계라는 것이다.

이산 격자 상의 다체 물리에서 질량 간극에 대응하는 개념은 간극이 있는 해밀토니언(gapped Hamiltonian)에서 발생한다.

수학적 정의

$x=({\boldsymbol {x}},t)$인 주어진 실수값 양자장 $\phi (x)$에 대하여, 만약 2점 함수가 다음과 같은 성질을 가지면 이 이론은 질량 간극을 가진다고 말할 수 있다.

$$\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)$$

여기서 $\Delta _{0}>0$은 해밀토니언 스펙트럼의 최저 에너지 값이며 곧 질량 간극이다. 다른 장으로 일반화하기 쉬운 이 양은 일반적으로 격자 계산에서 측정되는 값이다. 양-밀스 이론이 격자 위에서 질량 간극을 생성한다는 것이 이 방법을 통해 증명되었다. 이에 대응하는 시간 순서 값인 전파 인자는 다음 성질을 갖는다.

$$\lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constant}$$

이때 상수는 유한한 값이다. 전형적인 예시는 자유 질량 입자이며, 이 경우 상수는 1/m²의 값을 가진다. 동일한 극한에서 질량이 없는 입자의 전파 인자는 특이점(singular)을 갖는다.

고전 이론의 예시

질량이 없는 이론에서 고전적 수준에서 발생하는 질량 간극의 예는 자발 대칭 깨짐이나 힉스 메커니즘에서 볼 수 있다. 전자의 경우 질량이 없는 여기 상태인 골드스톤 보손의 출현을 다루어야 하지만, 후자의 경우 게이지 자유로 인해 이들이 제거된다. 양자화는 이러한 게이지 자유도 성질을 보존한다.

4차 상호작용을 하는 질량이 없는 스칼라 장론은 이미 고전적 수준에서 질량 간극을 형성한다. 다음 방정식을 고려하라.

$$\Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.$$

이 방정식은 다음과 같은 엄밀한 해를 갖는다.

$$\phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)$$ —여기서 $\mu$와 $\theta$는 적분 상수이고, sn은 야코비 타원 함수이다—단, 다음 조건을 만족해야 한다.

$$p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.$$

고전적 수준에서 질량 간극이 나타나는 한편, 양자 수준에서는 여기의 탑(tower of excitations)이 나타나며, 이론의 이러한 성질은 운동량이 0으로 가는 극한에서 양자화 후에도 보존된다.

양-밀스 이론

 이 부분의 본문은 양-밀스 이론 및 양-밀스 질량 간극 가설입니다.

격자 계산을 통해 양-밀스 이론이 실제로 질량 간극과 여기의 탑을 가지고 있음이 시사되었지만, 이론적 증명은 여전히 부족하다. 이는 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제 중 하나이며 미해결 상태로 남아 있다. 양-밀스 이론의 이러한 상태는 글루볼이라 불리는 물리적 상태여야 하며 실험실에서 관찰 가능해야 한다.

켈렌-레만 표현

켈렌-레만 스펙트럼 표현이 성립한다면(이 단계에서 게이지 이론은 제외한다), 스펙트럼 밀도 함수는 질량 간극에서 시작하는 이산 스펙트럼을 포함하는 매우 단순한 형태를 취할 수 있다.

$$\rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})$$

여기서 $\rho _{c}(\mu ^{2})$는 스펙트럼의 다입자 부분에서의 기여이다. 이 경우 전파 인자는 다음과 같은 단순한 형태를 취한다.

$$\Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}$$

여기서 $4m_{N}^{2}$은 대략적으로 다입자 영역의 시작점이다. 이제 다음 사실을 이용하면,

$$\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1$$

스펙트럼 밀도의 상수에 대해 다음과 같은 결론에 도달한다.

$$1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})$$

이것은 게이지 이론에서는 참이 아닐 수도 있다. 오히려 전파 인자에 대한 켈렌-레만 표현이 이 경우에도 성립한다는 것이 증명되어야 한다. 다입자 기여가 없다는 것은 이론이 질량 간극을 가지고 있더라도 결합 상태가 나타나지 않아 상호작용이 없는 자명한 이론임을 의미한다. 이 경우 위 공식에서 $\rho _{c}(\mu ^{2})=0$으로 설정하면 즉시 전파 인자를 얻을 수 있다.

같이 보기

• 콜먼-맨듈라 정리
• 스칼라 장론

외부 링크

• Sadun, Lorenzo. Yang-Mills and the Mass Gap. Video lecture outlining the nature of the mass gap problem within the Yang-Mills formulation. 보관됨 2020-11-05 - 웨이백 머신
• Mass gaps for scalar field theories on Dispersive Wiki
• “Witten talk on the mass gap problem in 3D quantum Yang-Mills theory”. 《YouTube》. Francis Villatoro. 2012년 8월 1일.