유효 작용

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양자장론에서, 유효 작용(有效作用, effective action)은 고전적인 작용양자역학적인 효과를 고려하여 수정한 것이다. 고전적인 작용은 고전적 장의 범함수인데 반해, 유효작용은 양자론적 장의 진공 기댓값 의 범함수다. 대개 기호 로 나타낸다.

고전역학에서는 운동 방정식최소 작용 원리로 계산할 수 있다. 그러나 양자론에서는 최소 작용 원리는 단순히 경로 적분을 근사할 뿐이다. 그러나 고전적 작용을 유효 작용으로 바꾸면 고전적인 경우와 같이 유효 작용에 최소 작용 원리를 사용하여 진공 기댓값의 운동 방정식을 정확히 계산할 수 있다.

정의[편집]

샘마당(source field) 에 대한 분배 함수

를 생각하자. 에너지 범함수

와 같이 정의한다. 이는 통계역학자유 에너지에 해당하는 값이다.

마당 진공 기댓값 은 다음과 같이 에너지의 도함수로 쓸 수 있다.

.

이 식은 에 대한 범함수로 주어진다는 것을 의미하는데, 이를 역으로 사용하여 에 대한 범함수로 간주할 수 있다. 이를 바탕으로 르장드르 변환을 하면 유효 작용 를 얻는다.

만약 진공이 병진불변이라면, 유효작용을 장의 (범함수가 아니라 일반) 함수인 유효퍼텐셜 로 나타낼 수 있다.

분배 함수 Z[J]상관함수생성함수고, 에너지 가 연결상관함수 (connected correlation function)의 생성함수인 것처럼, 유효 작용은 1점기약(一點旣約, one-point irreducible) 상관함수의 모함수다.

건드림 전개[편집]

유효작용 은 양자요동의 크기를 나타내는 에 대해서 건드림 전개를 할 수 있다.

0차항 계산[편집]

의 크기를 0으로 보내는 극한에서, 분배함수 는 전적으로 다음 조건을 만족하는 마당 에 의해 그 값이 결정된다.

는 마당 를 작용으로 갖을 때 구해지는 고전역학적인 해이다.

의 극한에서, 유효작용 과 일반적인 작용 사이의 관계는 다음과 같다.

또한 이 극한에서, 마당의 진공기대값 와 마당의 고전적인 해 사이의 관계는 다음과 같다.

마지막 등호는 마당의 고전적인 해 가 고전적인 해로써 만족해야 했던 조건을 이용했다.

그러므로 의 극한에서, 마당의 진공기대값 은 마당의 고전적인 해 와 일치하며, 유효작용 은 일반적인 작용 와 일치한다. 이를 유효작용의 평균장근사라고 부르기도 한다.

1차항 계산[편집]

를 0은 아니지만 작은 수로 간주하면, 즉 에 대해 건드림 전개를 하면, 유효작용은 일반적인 작용에 에 의한 보정값이 더해진다. 이를 위해서는 마당을 마당의 고전적인 해 와 그에 더해지는 양자 요동 의 합으로 생각해야 한다.

이로써 를 근사적으로 전개하면 다음과 같다.

마당의 고전적인 해 가 고전적인 해로써 만족해야 하는 조건을 이용하면, 은 0임을 알 수 있다. 그렇다면 분배 함수는 다음과 같다.

이 우항은 다음과 같다.

식을 고쳐쓰면,

그러므로 유효작용와 일반적인 작용 사이의 관계는 다음과 같다.

마당의 진공기대값 또한 꼴로 간주하고, 위 식 우변의 에 대해 치환하고, 항들을 정리하면 다음과 같다.

이를 1-고리 근사(one-loop approximation)이라고 부르기도 한다.

참고 문헌[편집]

  • J.Goldstone, A.Salam, S.Weinberg, Phys.Rev. 127, 965 (1962).
  • G.Jona-Lasinio, Nuovo Cimento 34, 1790 (1964).
  • S.Weinberg: The Quantum Theory of Fields, Vol.II, Cambridge University Press 1996.
  • D.J.Toms: The Schwinger Action Principle and Effective Action, Cambridge University Press 2007.
  • H. Kleinert, Particles and Quantum Fields, World Scientific Publishing Company 2016.

같이 보기[편집]