만델스탐 변수

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산란 이론에서, 만델스탐 변수(영어: Mandelstam variable)는 두 입자가 산란하여 튕겨나오는 과정에서, 각 입자의 초기 4차원 운동량과 나중 4차원 운동량의 관계를 나타내는 세 변수 s, t, u다. 단위는 에너지의 제곱. 남아공의 물리학자 스탠리 만델스탐(Stanley Mandelstam)이 도입하였다.[1]

정의[편집]

+−−− 계량 부호수를 사용하자. 사차원 운동량이 각각 인 두 개의 입자가 입사하여, 산란 뒤 각각 사차원 운동량을 가지게 된다고 하자. 그렇다면 만델스탐 변수 , , 는 다음과 같다.

.

여기서 s무게중심 기준틀에서 관측한 에너지의 제곱과 같다. t는 한 입자에서 다른 입자로 옮겨간 운동량의 정도(의 제곱)으로 해석할 수 있다.

세 만델스탐 변수들은 서로 독립적이지 않으며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

여기서 는 각 입자의 제곱 불변 질량이다.

만약 산란 뒤 입자가 산란 이전 입자와 다를 경우, 서로 유사한 입자의 운동량을 (또는 )로 간주한다. 예를 들어,

e++e μ+

와 같은 경우, 전자 (e)와 뮤온)이 서로 유사하므로 이들을 각각 로 간주한다.

파인먼 도형의 모양[편집]

이 세 변수에 비례하는 산란 진폭 성분을 나타내는 파인먼 도형은 다음과 같이 특정한 모양을 지닌다. 이런 모양의 파인먼 도형에 해당하는 산란 진폭 성분을 s 채널 · t 채널 · u 채널로 부른다.

S-channel.svg T-channel.svg U-channel.svg
채널 채널 채널

임의의 차원에서의 만델스탐 변수[편집]

일반적으로, 차원에서 개의 입자의 산란을 생각하자. 초기 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 양수로, 최종 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 음수로 놓자. 운동량들을 이라고 놓자. 그렇다면, 다음과 같은 만델스탐 변수 는 다음과 같다.

즉, 총 개의 변수들이 존재한다. 이들 사이에는 다음과 같은 일련의 상관관계가 존재한다.

4차원에서는

이므로, 이 상관관계는 4차원에서의 상관관계

의 일반화이다.

독립 만델스탐 변수들의 수[편집]

편의상

로 정의하자. 운동량들 사이에는 다음과 같은 조건들이 존재한다.

  • (질량껍질 조건)
  • (운동량 보존 법칙)

또한, 로런츠 변환을 통해

개의 추가 제약을 가할 수 있으나, 이들 가운데

개는 자명하게 작용한다. 따라서, 독립적인 만델스탐 변수의 개수는

이다.

다양한 차원에서 독립 만델스탐 변수들의 수
입자 수 N D = 2 D = 3 D = 4 D = 5 D = 6
3 0 0 0 0 0
4 1 2 2 2 2
5 2 4 5 5 5
6 3 6 8 9 9

2차원 만델스탐 변수[편집]

2차원에서는 2→2 산란 과정에서 오직 하나만의 독립적 만델스탐 변수가 존재하며, 이는 신속도로 쓸 수 있다.

네 입자의 신속도를 각각 , , , 로 쓰자. 그렇다면 각 입자의 2차원 운동량은

이다.

편의상 모든 입자의 질량이 으로 놓고, 로런츠 변환을 가해

으로 놓자. 그렇다면 운동량 보존에 따라서

임을 알 수 있다.

로 놓자. 그렇다면

이 된다 (복호 동순).

참고 문헌[편집]