재규격화군

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양자장론응집물질물리학에서, 재규격화군(再規格化群, renormalization group, 약자 RG) 또는 되맞춤군은 주어진 가 서로 다른 눈금에서 관측하였을 때 서로 다른 현상이 나타나는 정도를 나타내는 수학적 도구다.[1]:393 관찰하는 눈금이 달라지면서, 계의 각종 상수(결합 상수질량)가 유효적으로 변화한다. 이에 따라, 눈금에 따라 서로 다르게 보이는 유효 이론을 작성할 수 있다. 재규격화 변환은 가역변환이 아니므로 재규격화군은 수학적인 이 아니라, 모노이드의 일종이다.[1]:401

전개[편집]

주행 결합 상수와 베타 함수[편집]

양자장론에서 유한한 관측가능량을 계산하려면 이론을 재규격화하여야 하는데, 재규격화 방법은 임의의 에너지 눈금 에 의존한다. 이를 재규격화 눈금(renormalization scale)이라고 한다. 관측가능량의 값들은 재규격화 눈금에 의존하지 않지만, 결합 상수는 직접적인 관측가능량이 아니므로 사용하는 재규격화 눈금 에 따라 값이 바뀐다. 이 현상을 결합 상수의 주행(走行, running of the coupling constant)이라고 한다.

결합 상수 의 주행은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.[1]:417

.

여기서 함수 를 결합 상수 베타 함수(beta function)라고 한다. 즉, 결합 상수의 주행은 베타 함수를 통해 나타낼 수 있다. (이는 수학에서의 베타 함수과는 관계없는 값이다.)

마찬가지로, 일반적인 국소 연산자 의 재규격화 인자 도 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]:430

.

여기서 함수 비정상 차원(非正常次元, anomalous scaling dimension)이라고 한다.[1]:427

캘런-쥐만치크 방정식[편집]

상관 함수 또한 관측가능량이 아니므로 재규격화 눈금에 의존한다. 이는 다음과 같은 캘런-쥐만치크 방정식(Callan–Symanzik equation)으로 나타낼 수 있다.[1]:410[2] 재규격화 눈금 에서 개의 입자가 결합 상수 에 의존하여 상호작용한다면, 이에 해당하는 상관 함수 은 다음과 같다.

.

여기서 는 장의 비정상 차원이다. 만약 상관 함수가 여러 종의 장들을 포함한다면, 각 종마다 서로 다른 비정상 차원을 사용한다.

.

마찬가지로, 상관 함수가 여러 개의 결합 상수에 의존한다면 각 결합 상수에 대한 베타 함수 항을 추가한다.

캘런-쉬만치크 방정식은 미국의 물리학자 커티스 캘런[3] 과 독일의 물리학자 쿠르트 쥐만치크[4][5] 가 독자적으로 발견하였다.

정확한 재규격화군 방정식[편집]

캘런-쥐만치크 방정식은 근사적이지만, 정확 재규격화군 방정식(exact renormalization group equation)도 존재한다.[6][7][8] 대표적인 예로 윌슨 ERGE와 폴친스키 ERGE가 있다.

역사[편집]

1951년에 스위스의 에른스트 스튀켈베르크(Ernst Carl Gerlach Stueckelberg)와 프랑스의 앙드레 페테르만(André Petermann)이 도입하였다.[9][10][11][12]

1954년에 머리 겔만과 프랜시스 로(Francis Eugene Low)는 재규격화군을 양자 전기역학에 대하여 적용하였고, 이로부터 기본 전하의 재규격화를 유도하였다.[13] 니콜라이 보골류보프(Никола́й Никола́евич Боголю́бов)와 드미트리 시르코프(Дми́трий Васи́льевич Ширко́в)는 1950년대에 "재규격화군"이라는 용어와 결합 상수의 주행을 나타내는 베타 함수를 도입하였다.[11][14] (스튀켈베르크와 페테르만은 "규격화군"(normalization group)이라는 용어를 사용하였다.)

리오 카다노프[15]케네스 윌슨 등이 이를 개선하고 응집물질물리학에 대하여 응용하였다. 이 공로로 윌슨은 노벨 물리학상을 수상하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Peskin, Michael E.; Daniel V. Schroeder (1995년 10월). An Introduction to Quantum Field Theory[[분류:영어 표기를 포함한 문서|재규격화군]]》. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 0-201-50397-2.  URL과 위키 링크가 충돌함 (도움말)
  2. Coleman, Sidney (1985). 〈Dilatations〉. 《Aspects of Symmetry: Selected Erice Lectures》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. 86쪽. doi:10.1017/CBO9780511565045.004. ISBN 9780521267069. 
  3. Callan, Curtis G., Jr. (1970년 10월 15일). “Broken Scale Invariance in Scalar Field Theory”. 《Physical Review D》 (영어) 2 (8): 1541–1547. doi:10.1103/PhysRevD.2.1541. 
  4. Symanzik, Kurt (1970년 9월 1일). “Small distance behaviour in field theory and power counting”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 18 (3): 227–246. doi:10.1007/BF01649434. 
  5. Symanzik, Kurt (1971년 3월 1일). “Small-distance-behaviour analysis and Wilson expansions”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 23 (1): 49–86. doi:10.1007/BF01877596. 
  6. Bagnuls, C.; C. Bervillier (2001년 7월). “Exact renormalization group equations: An introductory review”. 《Physics Reports》 (영어) 348 (1–2): 91–157. arXiv:hep-th/0002034. doi:10.1016/S0370-1573(00)00137-X. 
  7. Rosten, Oliver J. (2012년 2월). “Fundamentals of the exact renormalization group”. 《Physics Reports》 (영어) 511 (4): 177-272. arXiv:1003.1366. doi:10.1016/j.physrep.2011.12.003. 
  8. Sonoda, Hidenori (2007년 10월). “The exact renormalization group: renormalization theory revisited” (영어). arXiv:0710.1662. 
  9. Stueckelberg, E. C. G.; André Petermann (1951). “The normalization group in quantum theory”. 《Helvetica Physica Acta》 24: 317.  재판 〈The normalization group in quantum theory〉. 《E.C.G. Stueckelberg, An Unconventional Figure of Twentieth Century Physics》. Basel: Birkhäuser. 2009. 395–398쪽. doi:10.1007/978-3-7643-8878-2_30. ISBN 978-3-7643-8877-5. 
  10. Stueckelberg, E.C.G.; André Petermann (1953). “La normalisation des constantes dans la theorie des quanta”. 《Helvetica Physica Acta》 (프랑스어) 26: 499–520. 
  11. Shirkov, Dmitrij V. (2001년 8월 30일). “Fifty years of the renormalization group”. 《CERN Courier》. 
  12. Zichichi, Antonino (2012년 3월 27일). “Interactions with André Petermann”. 《CERN Courier》. 
  13. Gell-Mann, Murray; F. E. Low (1954년 9월). “Quantum Electrodynamics at Small Distances”. 《Physical Review》 95 (5): 1300–1312. doi:10.1103/PhysRev.95.1300. 
  14. Bogoljubov, N.N.; D. V. Širkov (1956년 5월 1일). “Charge renormalization group in quantum field theory”. 《Il Nuovo Cimento (Series 10)》 3 (5): 845–863. doi:10.1007/BF02823486. 
  15. Kadanoff, Leo P. (1966년 6월). “Scaling laws for Ising models near T°c (PDF). 《Physics》 (영어) 2 (6): 263–272.  재판 Kadanoff, Leo P. (1993년 10월). 〈Scaling laws for Ising models near T°c〉. 《From Order to Chaos》 (영어). Singapore: World Scientific. 165–174쪽. doi:10.1142/9789812798763_0011. ISBN 978-981-02-1197-4. 
  • Shirkov, Dmitrij V. (1999년 9월). “Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group” (영어). arXiv:hep-th/9909024. 
  • Delamotte, Bertrand (2004년 2월). “A hint of renormalization”. 《American Journal of Physics》 (영어) 72 (2): 170–184. arXiv:hep-th/0212049. doi:10.1119/1.1624112. 
  • Hollowood, Timothy J. (2009). “Six Lectures on QFT, RG and SUSY” (영어). arXiv:0909.0859. 
  • Stevenson, P. M. (1981년 4월 1일). “Dimensional Analysis in field theory”. 《Annals of Physics》 (영어) 132 (2): 383–403. doi:10.1016/0003-4916(81)90072-5. 
  • Gies, Holger (2012). 〈Introduction to the Functional RG and Applications to Gauge Theories〉. 《Renormalization Group and Effective Field Theory Approaches to Many-Body Systems》 (영어). Lecture Notes in Physics 852. Berlin Heidelberg: Springer. arXiv:hep-ph/0611146. doi:10.1007/978-3-642-27320-9_6. ISBN 978-3-642-27319-3. 
  • Kirkinis, Eleftherios (2012). “The Renormalization Group: A Perturbation Method for the Graduate Curriculum”. 《Society for Industrial and Applied Mathematics Review》 (영어) 54 (2): 374–388. doi:10.1137/080731967. 

통계역학에서의 응용[편집]

  • 김두철 (1983년 12월 25일). 《상전이와 임계현상》. 민음사. ISBN 89-374-3503-9. 
  • Fisher, Michael E. (1998). “Renormalization group theory: Its basis and formulation in statistical physics”. 《Reviews of Modern Physics》 (영어) 70 (2): 653–681. doi:10.1103/RevModPhys.70.653. 
  • Sfondrini, Alessandro. “An introduction to universality and renormalization group techniques” (영어). arXiv:1210.2262. 
  • Goldenfeld, Nigel (1992년 7월). 《Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group》 (영어). Frontiers in Physics. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 978-0-201-55409-0. 
  • Zinn-Justin, Jean (2010년 5월 3일). “Critical Phenomena: field theoretical approach”. 《Scholarpedia》 (영어) 5 (5): 8346. doi:10.4249/scholarpedia.8346. 
  • Shankar, Ramamurti (2010년 7월 22일). “Renormalization group for non-relativistic fermions”. 《Scholarpedia》 (영어) 5 (9): 9575. doi:10.4249/scholarpedia.9575. 
  • Maris, H.J.; Leo P. Kadanoff (1978년 6월). “Teaching the renormalization group”. 《American Journal of Physics》 (영어) 46 (6): 652–657. doi:10.1119/1.11224. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]