파데예프-포포프 유령

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양자장론에서, 파데예프-포포프 유령(Faddeev–Popov ghost)은 게이지 이론경로 적분을 정의할 때 발생하는 가상의 입자들이다. 이들은 실재하지 않으나, 파인먼 도형들을 계산할 때 필요하다.

전개[편집]

게이지 장 A를 가지고, 게이지 변환들의 군 G를 가진 게이지 이론경로 적분을 생각하자.

Z=\frac1{\operatorname{vol}(G)}\int DA\,\exp(iS[A]).

게이지 군의 부피 \operatorname{vol}(G)는 다루기 불편하므로, 대신 게이지 조건(gauge condition)을 가한다. F(A)가 게이지 조건이라고 하자. 그렇다면 이에 대한 디랙 델타와, 이에 대한 야코비안 \det(\delta G(\alpha(A))/\delta\alpha)경로 적분에 삽입한다.

Z=\frac1{\operatorname{vol}(G)}\int DA\,\exp(iS[A])\int_Gd\alpha\,\delta(F(A))\det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha).

게이지 이론의 경우, 그 측도 DA는 게이지 변환에 대하여 야코비안이 발생하지 않는다. (그렇지 않을 경우는 변칙이라고 하고, 이 경우 게이지 이론은 존재할 수 없다.) 또한, 그 작용 S[A]도 게이지 불변이다. 또한, 야코비안 \det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha)는 대개 \alpha에 의존하지 않는다. 따라서 A\mapsto\alpha^{-1}(A)로 변수를 바꾸자.

Z=\frac1{\operatorname{vol}(G)}\int DA\,\exp(iS[A])\int_Gd\alpha\,\delta(F(A))\det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha)
=\int DA\,\exp(iS[A])\,\delta(F(A))\det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha).

따라서, 작용에

S'=-i\log\delta(F(A))-i\log\det\frac{\delta(F(\alpha(A))}{\delta\alpha}

두 개의 항이 더해진다. 첫 번째 항은 게이지 고정항(gauge-fixing term)이다. 두 번째 항은 함수 행렬식이다. 이는 게이지 군이 아벨 군일 경우 상수이며, 게이지 군이 아벨 군이 아닐 경우는 반가환 스칼라장에 대한 경로 적분으로 나타낼 수 있다. 이 장을 파데예프-포포프 유령이라고 한다.

양-밀스 이론의 경우 게이지 조건을

F(A)=\partial\cdot A

라고 하자. 게이지 변환은

\alpha(A)=A+\partial\alpha-i[A,\alpha]

이므로,

\det\frac{\delta F(\alpha(A))}{\delta\alpha}
=\det(\partial^2-i\partial\cdot[A,\cdot])

이다. 이 경우 반가환 딸림표현 복소 스칼라장 c를 도입하여, 함수 행렬식

\det(\partial^2-i\partial\cdot[A,\cdot])
=\int Dc\,D\bar c\,\exp(i\int d^4x\,\bar c(\partial^2c-i\partial\cdot[A,c]))

로 쓸 수 있다. 따라서 작용에 다음과 같은 유령항

S_\text{ghost}=\int d^4x\,\bar c(\partial^2c-i\partial\cdot[A,c])

이 더해진다.

역사[편집]

류드비크 파데예프와 빅토르 니콜라예비치 포포프(러시아어: Ви́ктор Никола́евич Попо́в)가 1967년 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Faddeev, L.D., V.N. Popov (1967년 7월 24일). Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field. 《Physics Letters B》 25 (1): 29–30. doi:10.1016/0370-2693(67)90067-6.