파데예프-포포프 유령

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양자장론에서 파데예프-포포프 유령(Faddeev–Popov ghost)은 게이지 이론의 경로 적분을 정의할 때 발생하는 가상의 입자들이다. 이들은 실재하지 않으나, 파인먼 도형들을 계산할 때 필요하다.

전개

게이지 장 $A$를 가지고, 게이지 변환들의 군 $G$를 가진 게이지 이론의 경로 적분을 생각하자.

$Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])$.

게이지 군의 부피 $\operatorname {vol} (G)$는 다루기 불편하므로, 대신 게이지 조건(gauge condition)을 가한다. $F(A)$가 게이지 조건이라고 하자. 그렇다면 이에 대한 디랙 델타와, 이에 대한 야코비안 $\det(\delta G(\alpha (A))/\delta \alpha )$을 경로 적분에 삽입한다.

$Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])\int _{G}d\alpha \,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )$.

게이지 이론의 경우, 그 측도 $DA$는 게이지 변환에 대하여 야코비안이 발생하지 않는다. (그렇지 않을 경우는 변칙이라고 하고, 이 경우 게이지 이론은 존재할 수 없다.) 또한, 그 작용 $S[A]$도 게이지 불변이다. 또한, 야코비안 $\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )$는 대개 $\alpha$에 의존하지 않는다. 따라서 $A\mapsto \alpha ^{-1}(A)$로 변수를 바꾸자.

$Z={\frac {1}{\operatorname {vol} (G)}}\int DA\,\exp(iS[A])\int _{G}d\alpha \,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )$

$=\int DA\,\exp(iS[A])\,\delta (F(A))\det(\delta F(\alpha (A))/\delta \alpha )$.

따라서, 작용에

$S'=-i\log \delta (F(A))-i\log \det {\frac {\delta (F(\alpha (A)))}{\delta \alpha }}$

두 개의 항이 더해진다. 첫 번째 항은 게이지 고정항(gauge-fixing term)이다. 두 번째 항은 함수 행렬식이다. 이는 게이지 군이 아벨 군일 경우 상수이며, 게이지 군이 아벨 군이 아닐 경우는 반가환 스칼라장에 대한 경로 적분으로 나타낼 수 있다. 이 장을 파데예프-포포프 유령이라고 한다.

양-밀스 이론의 경우 게이지 조건을

$F(A)=\partial \cdot A$

라고 하자. 게이지 변환은

$\alpha (A)=A+\partial \alpha -i[A,\alpha ]$

이므로,

$\det {\frac {\delta F(\alpha (A))}{\delta \alpha }}=\det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])$

이다. 이 경우 반가환 딸림표현 복소 스칼라장 $c$를 도입하여, 함수 행렬식을

$\det(\partial ^{2}-i\partial \cdot [A,\cdot ])=\int Dc\,D{\bar {c}}\,\exp(i\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c]))$

로 쓸 수 있다. 따라서 작용에 다음과 같은 유령항

$S_{\text{ghost}}=\int d^{4}x\,{\bar {c}}(\partial ^{2}c-i\partial \cdot [A,c])$

이 더해진다.

역사

류드비크 파데예프와 빅토르 니콜라예비치 포포프(러시아어: Ви́ктор Никола́евич Попо́в)가 1967년 도입하였다.

참고 문헌

• Faddeev, Ludwig Dmitrievich (2009). “Faddeev-Popov ghosts”. 《Scholarpedia》 4 (4): 7389. doi:10.4249/scholarpedia.7389. 
• Becchi, Carlo (1997). “Introduction to gauge theories”. arXiv:hep-ph/9705211. 
• Reshetikhin, Nicolai (2010). 〈Lectures on quantization of gauge systems〉. 《New Paths Towards Quantum Gravity》. Lecture Notes in Physics 807. Berlin, Heidelberg: Springer. 125–190쪽. arXiv:1008.1411. doi:10.1007/978-3-642-11897-5_3. ISBN 978-3-642-11896-8.