차원 조절

양자장론에서 차원 조절(次元調節, dimensional regularization)이란 발산하는 적분을 임의의 복소 차원으로 해석적 연속하는, 조절의 한 방법이다. 게이지 대칭을 보존하므로, 게이지 이론에서 유용하다. 독특하게도, 로그적 발산보다 더 큰 발산을 숨긴다. 해석적으로 연속할 수 없는, 레비치비타 기호를 포함한 항(강력의 CP 위반 항 등)에는 적용할 수 없다.

정의[편집]

대부분의 상대론적 라그랑지언은 임의의 양의 정수 차원에서 쓸 수 있다. (단, 레비치비타 기호 기호 따위는 특정한 차원에서만 쓸 수 있기 때문에 예외다.) 따라서 파인먼 도표를 차원에 대한 함수로 계산할 수 있다. 이렇게 얻어진 함수는 정칙함수이다. 따라서, 임의의 복소 차원 $d$ 로 해석적 연속할 수 있다. 따라서, 파인먼 도표를 $d=4$ 근처에서 테일러 급수로 쓸 수 있다. 이렇게 하면 $1/\epsilon =1/(4-d)$ 의 급수로 도표가 발산하는 정도를 나타낼 수 있다. 이를 차원 조절이라고 부른다.

차원 조절로 얻는 식은 모두 로그로 발산한다 (즉, 재규격화 에너지 $\Lambda$ 를 포함하여 쓰면, $1/\epsilon$ 으로 나타내어지는 발산은 재규격화 에너지의 로그에 비례한다). 이는 차원 조절이 선형, 이차, 삼차 등의 발산을 숨기기 때문이다. 차원 조절 뒤엔 일반적으로 최소뺄셈방식 또는 수정 최소뺄셈방식으로 재규격화한다.

예제[편집]

예를 들어, 다음과 같이 4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 생각해 보자.

\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}

일단, 차원을 4-ε으로 적고, ε을 0으로 보내자. 이렇게 하면 다음을 얻는다.

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int {\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.

이렇게 하면 적분이 수렴하고, 모든 값이 유한하다.

역사[편집]

1972년 헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만^[1]^[2]과 카를로스 볼리니(Carlos Bollini), 후안 호세 잠비아기(Juan Jose Giambiagi)^[3], 애시모어(J. F. Ashmore)^[4] 가 도입하였다. 가 도입하였다. 엇호프트와 펠트만은 양-밀스 이론을 재규격화하기 위해 차원 조절을 도입하였다.

같이 보기[편집]

규칙화에는 여러 방법이 있는데, 차원 조절은 그 중 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다. 다른 방법으로는 파울리-비야르 조절이나 격자조절 따위가 있다.

참고 문헌[편집]

↑ ’t Hooft, G.; M. Veltman (1972), “Regularization and renormalization of gauge fields” (PDF), 《Nuclear Physics B》 (영어) 44 (1): 189–213, Bibcode:1972NuPhB..44..189T, doi:10.1016/0550-3213(72)90279-9, ISSN 0550-3213
↑ ’t Hooft, G. (1984년 4월 16일). “This week’s citation classic” (PDF). 《ISI Current Contents》 (영어) 16: 16–16.
↑ Bollini, Carlos; Juan Jose Giambiagi (1972년 11월 11일). “Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter”. 《Il Nuovo Cimento B》 (영어) 12: 20–26. doi:10.1007/BF02895558.
↑ Ashmore, J. F. (1972년 6월 24일). “A method of gauge-invariant regularization”. 《Lettere al Nuovo Cimento》 (영어) 4 (8): 289–90. doi:10.1007/BF02824407. ISSN 0375-930X.

Olness, Fredrick; Randall Scalise (2011년 3월). “Regularization, renormalization, and dimensional analysis: Dimensional regularization meets freshman E&M”. 《American Journal of Physics》 79 (3): 306. arXiv:0812.3578. doi:10.1119/1.3535586.
Leibbrandt, George (1975년 10월). “Introduction to the technique of dimensional regularization”. 《Reviews of Modern Physics》 47 (4): 849–876. doi:10.1103/RevModPhys.47.849.
Breitenlohner, P.; D. Maison (1977년 2월). “Dimensional regularization and the action principle”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 52 (1): 11-38. doi:10.1007/BF01609069.

[1] ’t Hooft, G.; M. Veltman (1972), “Regularization and renormalization of gauge fields” (PDF), 《Nuclear Physics B》 (영어) 44 (1): 189–213, Bibcode:1972NuPhB..44..189T, doi:10.1016/0550-3213(72)90279-9, ISSN 0550-3213

[2] ’t Hooft, G. (1984년 4월 16일). “This week’s citation classic” (PDF). 《ISI Current Contents》 (영어) 16: 16–16.

[3] Bollini, Carlos; Juan Jose Giambiagi (1972년 11월 11일). “Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter”. 《Il Nuovo Cimento B》 (영어) 12: 20–26. doi:10.1007/BF02895558.

[4] Ashmore, J. F. (1972년 6월 24일). “A method of gauge-invariant regularization”. 《Lettere al Nuovo Cimento》 (영어) 4 (8): 289–90. doi:10.1007/BF02824407. ISSN 0375-930X.

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