양자역학 에서 각운동량 연산자 (角運動量演算子, 영어 : angular momentum operator )는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자
J
x
{\displaystyle J_{x}}
J
y
{\displaystyle J_{y}}
J
z
{\displaystyle J_{z}}
각운동량 을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량 (軌道角運動量, orbital angular momentum )이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량 spin angular momentum )이라고 한다.
각운동량 연산자
J
=
(
J
x
,
J
y
,
J
z
)
{\displaystyle \mathbf {J} =(J_{x},J_{y},J_{z})}
[
J
i
,
J
j
]
=
∑
k
i
ℏ
ϵ
i
j
k
J
k
{\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}}
여기서
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
레비치비타 기호 다. 풀어 쓰면 다음과 같다.
[
J
x
,
J
y
]
=
i
ℏ
J
z
{\displaystyle \left[J_{x},J_{y}\right]=i\hbar J_{z}}
[
J
y
,
J
z
]
=
i
ℏ
J
x
{\displaystyle \left[J_{y},J_{z}\right]=i\hbar J_{x}}
[
J
z
,
J
x
]
=
i
ℏ
J
y
{\displaystyle \left[J_{z},J_{x}\right]=i\hbar J_{y}}
각운동량 성분 사이에는 교환 법칙 이 성립하지 않으므로, 불확정성 원리 에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다.
성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환 관계가 성립한다.
[
J
i
,
J
2
]
=
0
{\displaystyle \left[J_{i},\mathbf {J} ^{2}\right]=0}
위 둘 사이에서는 교환 법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환 관계는 수소 원자 에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환 관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다.
각운동량에 대하여 다음과 같은 사다리 연산자
J
+
{\displaystyle J_{+}}
J
−
{\displaystyle J_{-}}
J
±
=
J
x
±
i
J
y
{\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}}
이 두 연산자들은 파동 함수 의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다.
각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다.
J
+
J
−
+
J
−
J
+
=
2
(
J
x
2
+
J
y
2
)
=
2
(
J
2
−
J
z
2
)
{\displaystyle J_{+}J_{-}+J_{-}J_{+}=2(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})=2(\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2})}
J
+
J
−
=
J
2
−
J
z
2
+
ℏ
J
z
{\displaystyle J_{+}J_{-}=\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}}
J
−
J
+
=
J
2
−
J
z
2
−
ℏ
J
z
{\displaystyle J_{-}J_{+}=\mathbf {J} ^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z}}
이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환 관계로 아래와 같은 관계가 있다.
[
J
+
,
J
−
]
=
2
ℏ
J
z
{\displaystyle \left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}}
[
J
z
,
J
±
]
=
±
ℏ
J
±
{\displaystyle \left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }}
[
J
2
,
J
±
]
=
0
{\displaystyle \left[\mathbf {J} ^{2},J_{\pm }\right]=0}
위의 교환 관계에 따라, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수 는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로
J
z
{\displaystyle J_{z}}
고윳값 방정식은 다음과 같다.
J
2
|
j
,
m
⟩
=
ℏ
2
j
(
j
+
1
)
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}|j,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m\rangle }
J
z
|
j
,
m
⟩
=
ℏ
m
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle \mathbf {J} _{z}|j,m\rangle =\hbar m|j,m\rangle }
m
{\displaystyle m}
−
j
,
−
j
+
1
,
−
j
+
2
,
⋯
,
j
−
1
,
j
{\displaystyle -j,-j+1,-j+2,\cdots ,j-1,j}
j
{\displaystyle j}
l
{\displaystyle l}
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle 0,1,2,\dots }
j
{\displaystyle j}
j
=
0
,
1
/
2
,
1
,
3
/
2
,
2
,
…
{\displaystyle j=0,1/2,1,3/2,2,\dotsc }
고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의
m
{\displaystyle m}
J
+
|
j
,
m
⟩
=
ℏ
(
j
−
m
)
(
j
+
m
+
1
)
|
j
,
m
+
1
⟩
{\displaystyle J_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle }
J
−
|
j
,
m
⟩
=
ℏ
(
j
+
m
)
(
j
−
m
+
1
)
|
j
,
m
−
1
⟩
{\displaystyle J_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle }
궤도 각운동량 연산자는 고전역학의 각운동량
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
여기서,
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }
이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수 에 작용하는 에르미트 연산자이다.
위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가
p
=
h
i
∇
{\displaystyle \textstyle \mathbf {p} ={h \over i}\nabla }
L
=
h
i
r
×
∇
{\displaystyle \mathbf {L} ={h \over i}\mathbf {r} \times \nabla }
정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱
L
2
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}
데카르트 좌표계 에서의 성분에 대한 연산자
L
x
{\displaystyle L_{x}}
L
y
{\displaystyle L_{y}}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
L
x
=
−
i
ℏ
(
y
∂
∂
z
−
z
∂
∂
y
)
{\displaystyle L_{x}=-i\hbar (y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y})}
L
y
=
−
i
ℏ
(
z
∂
∂
x
−
x
∂
∂
z
)
{\displaystyle L_{y}=-i\hbar (z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z})}
L
z
=
−
i
ℏ
(
x
∂
∂
y
−
y
∂
∂
x
)
{\displaystyle L_{z}=-i\hbar (x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x})}
L
2
=
L
x
2
+
L
y
2
+
L
z
2
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}
이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다.
Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.) , Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics , Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5 
![{\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1127dbdd6436a84bccb75e8c9c0bf1642a14a6d)
![{\displaystyle \left[J_{x},J_{y}\right]=i\hbar J_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff0ee43363f3bd6753ab7ab5696d5453add1253)
![{\displaystyle \left[J_{y},J_{z}\right]=i\hbar J_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36833d05e984458aa331dc3571b4221789363ded)
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![{\displaystyle \left[J_{i},\mathbf {J} ^{2}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d23ae0bd3a7d649184d1536b2c96e231ed8394f)
![{\displaystyle \left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e4acddeb09f2968c54c0ac9b58baa70caba8eb)
![{\displaystyle \left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e374198017cb81a9ef5539ade9fdc24532924e)
![{\displaystyle \left[\mathbf {J} ^{2},J_{\pm }\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d75853a0eb202ac5ef2dfa6ce46cea3fdaa9e1)
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