고유 함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(고유함수에서 넘어옴)
둘러보기로 가기 검색하러 가기

일반위상수학에서, 고유 함수(固有函數, 영어: proper map)은 콤팩트 집합원상이 콤팩트한 연속 함수이다.

정의[편집]

위상 공간 사이의 연속 함수 가 다음 성질을 만족시키면, 고유 함수라고 한다.

임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 콤팩트 집합이다.

(스킴고유 사상은 이 조건과 다른 조건이다.)

위상 공간 사이의 연속 함수 가 다음 성질을 만족시키면, 준콤팩트 함수(準-, 영어: quasicompact map)라고 한다.

임의의 콤팩트 열린집합 에 대하여, 콤팩트 열린집합이다.

이 조건은 스킴 이론에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 준콤팩트 사상(영어: quasicompact morphism)은 준콤팩트 함수인 스킴 사상이다. (스킴 사상은 항상 연속 함수이다.) 공역 하우스도르프 공간이라면 의 콤팩트 열린집합열린닫힌집합이며, 하우스도르프 연결 공간인 경우 이는 공집합이거나 전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 스킴하우스도르프 공간이 아니다.

성질[편집]

정의에 따라서, 연속 함수에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

고유 함수 준콤팩트 함수 연속 함수

필요 조건 · 충분 조건[편집]

어떤 연속 함수 에 대하여, 닫힌 함수이며 또한 모든 점 원상콤팩트 집합이라면 는 고유 함수이다. 만약 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 그 역도 성립한다.

만약 거리 공간이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다.

거리 공간 속의 수열 가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합 에 대하여 유한 집합이라면, 무한대로 달아난다(영어: escape to infinity)고 한다.

거리 공간 사이의 연속 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 고유 함수이다.
  • 속의 모든 무한대로 달아나는 수열이 ( 속에서) 항상 무한대로 달아난다.

스킴 사상 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

그러나 마지막 조건에서, "원상콤팩트 집합아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개"를 "원상이 콤팩트 집합콤팩트 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.[3]:Remark 1.5

기타 성질[편집]

위상 공간 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 콤팩트 공간이다.
  • 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 가 고유 함수이다.
  • 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 가 준콤팩트 함수이다.

정의역콤팩트 공간이고 공역하우스도르프 공간연속 함수는 고유 함수이자 닫힌 함수이다.

참고 문헌[편집]

  1. Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten. 《Algebraic geometry. Part I: Schemes. With examples and exercises》 (영어). 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 
  3. Vistoli, Angelo (2007). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). Bibcode:2004math.....12512V. arXiv:math/0412512. 

외부 링크[편집]