퍼지 구

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비가환 기하학에서, 퍼지 구(fuzzy球, 영어: fuzzy sphere)는 일반적인 를 비가환 공간으로 일반화한 경우다. 3차원 각운동량 연산자로 생성된다.

정의[편집]

스핀SU(2) 표현 ()를 생각하자. 이들은 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

여기서 는 3차원 레비치비타 기호다.

다음과 같은 총 각운동량 연산자를 생각하자.

이제 다음과 같이 좌표 를 정의하자.

그렇다면

이 되므로, 반지름의 좌표로 생각할 수 있다. 이 비가환 공간을 퍼지 구(영어: fuzzy sphere)라고 한다. 영어: fuzzy 퍼지[*]는 ‘흐릿한, 보풀이 이는’을 뜻하는 형용사로, 좌표의 비가환성을 보풀에 비유한 것이다.

퍼지 구의 좌표들 는 서로 가환하지 않는다.

다만, 각운동량이 매우 큰 고전적 극한 을 취하면, 이 되어 가환구로 수렴하게 된다.

퍼지 구 위의 미적분[편집]

퍼지 구 위의 함수는 에르미트 행렬이다. 이러한 함수 미분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

이는 를 대입하면 올바른 결과를 얻는 것을 알 수 있다. 이를 사용하여 라플라스 연산자도 유사하게 정의할 수 있다.

적분대각합에 비례하게 다음과 같이 정의한다.

이렇게 하면, 상수함수 (단위행렬)을 대입해 퍼지 구의 겉넓이를 구할 수 있다.

따라서 고전적 극한 를 취하면 겉넓이가 가환구의 겉넓이 로 수렴하는 것을 알 수 있다.

역사[편집]

존 마도어(영어: John Madore)가 1991년에 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Madore, John (1992년 1월). “The fuzzy sphere”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 9 (1): 69–87. doi:10.1088/0264-9381/9/1/008. ISSN 0264-9381.