자유 아벨 군

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
둘러보기로 가기 검색하러 가기

군론에서, 자유 아벨 군(自由Abel群, 영어: free Abelian group)은 원소들이 가환성 밖의 아무런 추가 항등식을 만족시키지 않는 아벨 군이다.

정의[편집]

아벨 군 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 기저라고 한다.

  • 모든 원소 에 대하여, 인 유한 집합 및 정수 가 유일하게 존재한다.
  • 임의의 아벨 군 및 함수 에 대하여, 군 준동형 가 존재한다.

아벨 군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군을 자유 아벨 군이라고 한다.

  • 는 하나 이상의 기저를 갖는다.
  • 기수 가 존재한다. 여기서 개의 들의 직합이다.
  • 정수환자유 가군이다.
  • 의 꼴의 표시를 갖는다. 여기서 는 임의의 집합이다.

자유 아벨 군의 모든 기저들의 집합의 크기는 같으며, 이 기수를 자유 아벨 군의 계수(영어: rank)라고 한다. 이는 벡터 공간의 차원에 대응하는 개념이다.

어떤 집합 에 대하여, 를 기저로 하는 자유 아벨 군을 정의할 수 있다. 이를 로부터 생성되는 자유 아벨 군이라고 한다.

성질[편집]

  • 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이다. (이는 리하르트 데데킨트가 증명하였다.)
  • 임의의 개수의 자유 아벨 군들의 직합은 자유 아벨 군이다.
  • 유한 개의 자유 아벨 군들의 직접곱(direct product)은 (직합과 같으므로) 자유 아벨 군이다. 그러나 무한 개의 자유 아벨 군의 경우 이는 성립하지 않는다.
  • 유한 개의 자유 아벨 군들의 텐서곱은 자유 아벨 군이다.

임의의 두 자유 아벨 군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

계수가 2 이상인 자유 아벨 군은 자유군이 아니다.

[편집]

자명군은 자명하게 계수가 0인 자유 아벨 군을 이룬다. 정수의 덧셈군 은 계수가 1인 자유 아벨 군이다.

베어-슈페커 군(영어: Baer–Specker group) (즉, 가산 무한 개의 무한 순환군들의 직접곱)은 자유 아벨 군이 아니다. 그러나 이 군의 모든 가산 부분군은 자유 아벨 군이다.

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]