기본 표현

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리 군표현론에서, 기본 표현(基本表現, fundamental representation)은 그 우세 무게가 다른 모든 우세 무게들의 집합의 기저를 이루는 표현이다. 주어진 군의 임의의 표현은 기본 표현들의 조합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

성질[편집]

모든 표현은 일련의 무게(weight, 카르탕 부분군의 고윳값)들로 나타낼 수 있다. 계수(rank, 카르탕 부분군의 차원)가 리 군의 표현은 개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 차원 벡터 공간의 원소다. 여기에 임의로 정분면(orthant)을 골라, 순서를 매길 수 있다. 이에 따라 가장 큰 무게를 우세 무게(優勢-, dominant weight)라고 한다. 즉, 군의 표현은 그 우세 무게로 나타낼 수 있다.

임의의 우세 무게는 기본 무게(基本-, fundamental weight)라는 우세 무게들의, 음이 아닌 정수를 계수로 하는 선형결합으로 나타낼 수 있다. 기본 무게를 우세 무게로 가지는 표현을 기본 표현이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.

단순 리 군의 기본 표현[편집]

  • An = SU(n+1) (또는 그 복소화인 )의 경우, 기본 표현은 차 완전 반대칭 텐서 ()이다. 이 경우, 기본 무게는 , …, 의 꼴이다.
  • Bn = Spin(2n+1)의 경우, 기본 표현은 차원 디랙 스피너 ()이다. 이 경우, 기본 무게는 (스피너)와 , …, 이다. (물론 이므로 기본 표현이 아니다.)
  • Cn = USp(2n)의 경우, 기본 표현은 ()의 최고 무게 기약 성분이다. 이는 ()차원이다. 물론 인 경우는 그냥 차원이다.
  • Dn = Spin(2n)의 경우, 기본 표현은 차원 바일 스피너 두 개와 ()이다. 이 경우, 기본 무게는 , …, 이다.
  • F4의 경우, 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현이다.
  • G2의 경우, 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현이다.
  • E6의 경우, 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현이다.
  • E7의 경우, 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현이다.
  • E8의 경우, 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 딸림표현이다.

같이 보기[편집]