리 대수 이론에서, 무게(영어: weight)는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.
체
에 대한 리 대수
의 무게
는 다음 성질을 만족시키는
-선형 범함수이다. (여기서
는 쌍대 공간이다.)
![{\displaystyle \lambda ([a,b])=0\qquad \forall a,b\in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ad4bc7e85f2616340f9f375077a31671fd5799)
무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수
의 무게는 그 가환화
의 무게로 제한될 수 있다. 즉,
의 무게는
의 원소를 정의한다.
무게 가군[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 체
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
-리 대수 ![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
의 표현 ![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \operatorname {\mathfrak {gl}} (V;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475f66e65c2716afb011f422e8b8d506bb750bfe)
의 무게 ![{\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67fcc3c72925405d427e68a30b021db1a7b53d84)
그렇다면,
속의, 무게
의 무게 공간(영어: weight space)
는
의 다음과 같은 부분 공간이다.
![{\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall a\in {\mathfrak {g}}\colon av=\lambda (a)v\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0973031d63e63dc3b89d0bede429ca1fc43211)
이라면
를
의 무게라고 하고, 무게 공간의 원소를 무게 벡터(영어: weight vector)라고 한다.
만약
가 그 무게 공간들의 직합이라면,
를
의 무게 가군(-加群, 영어: weight module)이라고 한다.
마찬가지로, 다음을 정의하자.
속의, 무게
의 일반화 무게 공간(영어: generalized weight space)
는
의 다음과 같은 부분 공간이다.[1]:130
![{\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall a\in {\mathfrak {g}}\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon (a-\lambda (a))^{n}v=v\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3bcf0d0998c2fa1ea4439674178ef9155e2cd2)
이라면
를
의 일반화 무게(영어: generalized weight)라고 하고, 무게 공간의 원소를 일반화 무게 벡터(영어: generalized weight vector)라고 한다. (유한 차원
의 경우 사실 항상
로 잡을 수 있다.)
마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 일반화 무게 가군(영어: generalized weight module)이라고 한다.
복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수
의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.[1]:130, Proposition II.2.4
복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수
의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.
반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게[편집]
만약
가 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수
를 고르자.
이므로,
위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수
는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우,
의 모든 유한 차원 표현은 (
에 제한되었을 때)
의 무게 가군을 이룬다.
딸림표현
의
-무게들을
의 근(根, 영어: root)이라고 하며, 이들은
의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근
에 대응하는 쌍대근(雙對根, 영어: coroot)
은
![{\displaystyle \lambda ^{\vee }={\frac {2\lambda }{\langle \lambda ,\lambda \rangle }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea531e3173cc8fa14e75f78ea733da146ad7a8c)
이다.
단순 리 대수의 무게[편집]
가 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수
를 고르자.
의 정수 무게(整數-, 영어: integral weight)
는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.
- 모든 쌍대근
에 대하여,
. (다시 말해, 모든 근
에 대하여,
.)
정수 무게들의 집합
는 (덧셈군으로서)
와 동형이며, 이를 정수 무게 격자(영어: integral weight lattice)라고 한다.
의 근계의 양근
및 이를 생성하는 단순근
를 고르자.
그렇다면,
의 기본 무게(基本-, 영어: fundamental weight)
는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합
에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게
이다.
![{\displaystyle 2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9759c879b3710bd203f289d1a7fd7b90077b096e)
이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.
의 우세 무게(優勢-, 영어: dominant weight)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게
가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근)
에 대하여
![{\displaystyle \langle \gamma ,\alpha \rangle \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9d79f839179089ff86aa2504303e57d60b60ff)
인 것이다.
의 우세 정수 무게(優勢-, 영어: dominant integral weight)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 기본 바일 방(영어: fundamental Weyl chamber)이라고 한다.
즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
무게 |
⊃ |
정수 무게 |
⊃ |
근 |
⊃ |
양근 |
⊃ |
단순근
|
∪ |
|
∪
|
우세 무게 |
⊃ |
우세 정수 무게 |
⊃ |
기본 무게
|
|
|
⟒
|
|
|
영벡터 (0)
|
여기서
- 밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
- 기울어지게 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.
다음과 같은 A2 근계를 생각하자.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/Weights_for_A2_root_system.png)
여기서
- 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
- 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
- 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
- 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
- 화살표의 머리들(
,
,
)은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
- 양근은
,
,
이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
- 단순근은
,
이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
- 기본 무게는
,
이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)
다음과 같은 B2 근계를 생각하자.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Root_system_B2.svg/360px-Root_system_B2.svg.png)
여기서
- 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
- 격자
의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
- 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
- 화살표의 머리들(
,
,
)은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
- 양근은
,
,
,
이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
- 단순근은
,
이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
- 기본 무게는
,
이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]