군의 확대

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군론에서, 군의 확대(群-擴大, 영어: group extension)는 정규 부분군몫군으로 나타내는 방법이다.

정의[편집]

군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.

1\rightarrow N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\rightarrow 1

즉,

G/\iota(N)\cong Q

이다. 그렇다면 GN에의한 Q확대(영어: extension of Q by N)라고 한다.

만약 NG중심의 부분군이라면, 즉

\iota(N)\subset Z(G)

이라면 이를 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

NQ로의 두 확대

1\to N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\to 1
1\to N\xrightarrow{\iota'}G'\xrightarrow{\pi'}Q\to 1

에 대하여, 만약 다음 그림

\begin{matrix}
1&\to& N&\xrightarrow\iota &G&\xrightarrow\pi &Q&\to&1\\
&&\|&&{\scriptstyle\phi}\downarrow\!{\wr}&&\|\\
1&\to& N&\xrightarrow[\iota']{}&G'&\xrightarrow[\pi']{}&Q&\to&1
\end{matrix}

을 가환하게 하는 군 동형 \phi\colon G\to G'이 존재한다면, GG'을 서로 동형인 확대라고 한다.

분류[편집]

군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.

아벨 군의 범주 속에서의 확대[편집]

NQ가 아벨 군이며, 확대된 군 G 역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은

\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N)

과 표준적으로 일대일 대응한다.

아벨 정칙 부분군의 경우[편집]

N이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, NQ에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.

\bigsqcup_{\phi\in\hom(Q,\operatorname{Aut}N)}\operatorname H^2_\phi(Q,N)

여기서 \operatorname H^2_\phi(Q,N)N을 작용 \phi를 갖춘 G-가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대 N\to G\to Q가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형

\phi\colon Q\to\operatorname{Aut}N
\phi\colon q\mapsto(n\mapsto qnq^{-1})

이 유도되는데, 주어진 준동형 \phi에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지 \operatorname H^2_\phi(Q,N)과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱 N\rtimes_\phi Q가 표준적인 밑점(영어: basepoint)을 제공하기 때문이다.

무중심 정칙 부분군의 경우[편집]

N중심이 자명군일 경우, NQ에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형

Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N

과 일대일 대응한다.[1]:106, Corollary 6.8; Exercise 6.1 이는 가환 그림

\begin{matrix}
1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\
&&\| &&\downarrow\scriptstyle\phi^*&&\downarrow\scriptstyle\phi\\
1&\to&\operatorname{Inn}N&\hookrightarrow&\operatorname{Aut}N&\twoheadrightarrow&\operatorname{Out}N&\to&1
\end{matrix}

에서, \phi^*\colon G\to\operatorname{Aut}N\phi\colon Q\to\operatorname{Out}N으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, N이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면, N의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 완비군(영어: complete group)이라고 한다.

외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우[편집]

만약 \operatorname{Out}N자명군이라면, 준동형 Q\to\operatorname{Out}N은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 \operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))와 표준적으로 일대일 대응하며, 0\in\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))직접곱 N\times Q에 대응한다.

구체적으로,

\begin{matrix}
&&1&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname Z(N)&\hookrightarrow&\operatorname C_G(N)&\twoheadrightarrow&\operatorname C_G(N)/\operatorname Z(N)&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\!\wr\\
1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\
&&\downarrow &&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Inn}N&\cong&\operatorname{Aut}N&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1
\end{matrix}

이므로, 짧은 완전열

1\to\operatorname Z(N)\to\operatorname C_G(N)\to Q\to1

이 존재한다. \operatorname Z(N)이 아벨 군이며, \operatorname Z(N)\operatorname C_G(N)에 대한 작용은 자명하므로 가능한 \operatorname C_G(N)들은 \operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 \operatorname C_G(N)에 대하여 G짧은 완전열

1\to\operatorname C_G(N)\to G\to\operatorname{Aut}N\to1

에서 유일하게 결정된다.

일반적 정칙 부분군의 경우[편집]

일반적인 N의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(영어: basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.

구체적으로, 확대

1\to N\to G\to Q\to1

가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형

Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N

이 존재한다. 임의의 준동형 \phi\colon Q\to\operatorname{Out}N에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:105, Theorem 6.7

  • \phi를 유도하는 군의 확대 G가 존재한다.
  • 어떤 특정한 \theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)\in \operatorname H^3_\phi(Q,\operatorname Z(N))에 대하여, \theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)=0이다.

즉, \phi를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면, \phi를 통한 임의의 두 확대 G,G'에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 \operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))과 일대일 대응시킬 수 있다.[1]:105, Theorem 6.6 즉, \phi를 통한 확대들은 \operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, \phi가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 G=N\times Q를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.

구체적으로, 이 걸림돌 \theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)는 다음과 같다.[1]:105, Theorem 6.7 완전열

1\to\operatorname Z(N)\to N\to\operatorname{Aut} N\to\operatorname{Out}N\to1

에 의하여, 원소

u\in\operatorname H^3(\operatorname{Out}N,\operatorname Z(N))

가 주어진다. 또한, 군 준동형 \phi\colon Q\to\operatorname{Out}N에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형

\phi^*\colon\operatorname H^\bullet(\operatorname{Out},\operatorname Z(N))\to\operatorname H^\bullet(Q,\operatorname Z(N))

이 주어진다. 그렇다면

\theta=\phi^*u

이다.

참고 문헌[편집]

  1. Brown, K. 《Cohomology of groups》 (영어). 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]