사타케 도표

군론에서 사타케 도표(영어: Satake diagram)는 반단순 리 군 또는 가약군의 구조를 나타내는 그래프의 일종이다. 딘킨 도표에 추가로 꼭짓점의 색깔(검은색 또는 흰색)과 흰 꼭짓점 위의 절대 갈루아 군의 작용을 그린 것이다.

정의

실수 반단순 리 대수 <matth>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 대합 $\theta$에 대한 카르탕 분해

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$

가 주어졌다고 하자. 즉, ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }$의 콤팩트 실수 형태는 ${\mathfrak {k}}\oplus \mathrm {i} {\mathfrak {p}}$이다. ${\mathfrak {p}}$의 극대 아벨 부분 리 대수 ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$를 고르고, $\theta$에 대하여 불변이며 ${\mathfrak {a}}$를 카르탕 부분 대수

${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$

를 고르자. 그렇다면, 근계

$\Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }$

및 무게 공간

${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 근들을 다음과 같은 두 종류로 분류할 수 있다.

• ${\mathfrak {a}}$에서 값이 0인 근.
• ${\mathfrak {a}}$에서 값이 0이 아닌 근. 이 위에는 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )=\{\operatorname {id} ,z\mapsto {\bar {z}}\}$이 작용한다.

그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 사타케 도표는 ${\mathfrak {g}}$의 딘킨 도표에 다음과 같은 추가 구조를 더한 것이다.

• ${\mathfrak {a}}$에서 값이 0인 근에 대응되는 꼭짓점은 검게 칠한다.
• ${\mathfrak {a}}$에서 값이 0이 아닌 근에 대응되는 꼭짓점은 희게 칠한다.
• 갈루아 군의 작용에 대하여 같은 궤도에 있는 두 흰 꼭짓점은 화살표로 잇는다.

보다 일반적으로, 임의의 체 위에 정의된 가약군에 대하여 사타케 도표를 정의할 수 있다. 이 경우, 흰 꼭짓점 위에는 해당 체의 절대 갈루아 군이 작용하게 된다.

예

콤팩트 실수 반단순 리 대수의 사타케 도표에서는 모든 꼭짓점이 검다.

분할 실수 반단순 리 대수의 사타케 도표에서는 모든 꼭짓점이 희며, 아무런 화살표도 없다 (즉, 갈루아 군의 작용은 항등 함수이다).

역사

사타케 이치로(일본어: 佐武 一郎 (さたけ いちろう), 1927〜2014)가 1960년에 도입하였다.