작은 별모양 십이면체

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작은 별모양 십이면체
Small stellated dodecahedron.png
종류 케플러-푸앵소 다면체
별모양화 중심 정십이면체
원소 F = 12, E = 30
V = 12 (χ = -6)
면의 수{변의 수} 125
슐레플리 기호 {5/2,5}
면 배치 V(55)/2
위토프 기호 5 | 25/2
콕서터 다이어그램 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
대칭군 Ih, H3, [5,3], (*532)
참조 U34, C43, W20
특성 정다면체 비볼록
Small stellated dodecahedron vertfig.png
(5/2)5
(꼭짓점 도형)
Great dodecahedron.png
큰 십이면체
(쌍대다면체)

기하학에서, 작은 별모양 십이면체(small stellated dodecahedron)는 아서 케일리에 의해서 이름이 지어졌고 슐레플리 기호가 {5/2,5}인 케플러-푸앵소 다면체이다. 이것은 비볼록 정다면체 네 개 중 하나이다. 이것은 오각성 면 12개로 각 꼭짓점에 5개가 만나게 이루어져 있다.

이것은 볼록 정이십면체와 같은 꼭짓점 배열을 가진다. 이것은 또한 큰 이십면체와 같은 모서리 배열을 가진다.

이것은 정십이면체의 네 별모양화 중 두 번째이다.

오각성 면을 삼각형 면 5개로 생각하면, 이것은 오방십이면체와 같은 표면 위상을 가지지만, 높이가 오각성에 있는 삼각형 다섯 개가 동일 평면에 있는 별 오각뿔의 높이인 이등변삼각형 면을 가진다.

이것을 모서리 30개와 꼭짓점 12개에서 만나는 오각성 12개를 면으로 가진다고 생각하면, 이것을 오일러 공식을 이용해서 종수를 계산할 수 있다:

그리고 작은 별모양 십이면체는 종수가 4라는 것을 결론지을 수 있다. 루이 푸앵소에 의해서 이뤄어진 이 관측은 처음에는 혼란스러웠지만, 펠릭스 클라인이 1877년에 작은 별모양 십이면체는 분지점을 각 오각성의 중심에 갖고 있는 종수가 4인 리만 곡면으로 리만 구가지 덮기하고 있는 것으로 볼 수 있다는 것을 밝혔다. 사실 브링의 곡선으로 불리는 이 리만 곡면은 종수가 4인 어떤 리만 곡면의 대칭 수 보다도 가장 많은 대칭 수를 가지고 있다: 대칭군 는 자기 동형 사상처럼 행동한다[1]

그림[편집]

투명 수제 모형
SmallStellatedDodecahedron.jpg
(애니메이션)
Small Stellated Dodecahedron 1.jpg Small Stellated Dodecahedron 2.jpg
구면 타일링 별모양화 전개도
Small stellated dodecahedron tiling.png
이 다면체는 밀도가 3인 구면 타일링을 나타낸다. (윤곽선이 파란색이고 노란색으로 칠해진 구면 오각성 면 하나)
First stellation of dodecahedron facets.svg
이것은 정십이면체의 첫 번째 별모양화로도 만들어질 수 있고, 웨닝거 모델 [W20]을 가리킨다.
Small stellated dodecahedron net.png × 12
작은 별모양 십이면체는 종이나 키드지를 다섯 면을 가지는 이등변 삼각형 각뿔을 정십이면체를 만들 때 오각형을 붙이듯이 12개를 연결해서 만들 수 있다.

예술에서[편집]

파올로 우첼로의 바닥 모자이크, 1430

관련 다면체[편집]

이것의 볼록 폐포는 볼록 정이십면체이다. 이것은 모서리를 큰 이십면체와 공유한다.

이 다면체는 큰 십이면체깎은 것 이다:

깎은 작은 별모양 십이면체는 표면이 정십이면체 처럼 보이지만 면이 24개 이다: 꼭짓점을 깎아서 나온 오각형 12개와 중복되는 12개 (깎은 오각성).

이름 작은 별모양
십이면체
깎은
작은 별모양
십이면체
십이십이면체 깎은 큰
십이면체

십이면체
콕서터
다이어그램
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
그림 Small stellated dodecahedron.png Dodecahedron.png Dodecadodecahedron.png Great truncated dodecahedron.png Great dodecahedron.png

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Weber, Matthias (2005). “Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface”. 《Pacific J. Math.》 220. 167–182면.  pdf

위부 링크[편집]

정십이면체의 별모양화
플라톤의 다면체 케플러-푸앵소 다면체
정십이면체 작은 별모양 십이면체 큰 십이면체 큰 별모양 십이면체
Zeroth stellation of dodecahedron.png First stellation of dodecahedron.svg Second stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron.png
Zeroth stellation of dodecahedron facets.png First stellation of dodecahedron facets.png Second stellation of dodecahedron facets.png Third stellation of dodecahedron facets.png