분지점

복소해석학에서, 분지점(分枝點, 영어: ramification point)은 두 리만 곡면 사이의 정칙 함수가 국소적으로 피복 공간을 이루지 못하는 점이며, 그 상을 가지점(-點, 영어: branch point)이라고 한다. 이러한 정칙 함수의 역함수를 정의하려면, 가지점들을 잇는 선분 또는 반직선에서 정의되지 않거나 또는 이 점들에서 불연속적이게 된다. 이러한 선분 또는 반직선을 분지 절단(分枝切斷, 영어: branch cut)이라고 한다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 리만 곡면 $\Sigma$, $\Sigma '$
• 정칙 함수 $f\colon \Sigma \to \Sigma '$. 또한, $f$가 국소적으로 상수 함수가 아니라고 하자.

그렇다면, 점 $z\in \Sigma$에 대하여, 두 조건을 생각하자.

제한 함수 $f\upharpoonright f^{-1}(U)\colon f^{-1}(U)\to f(U)$가 피복 공간이 되는, $f(z)$의 근방 $U\ni f(z)$가 존재한다.

이 조건이 성립하지 않는 점들의 집합은 $\Sigma$ 속의 이산 공간을 이루며, 특히 만약 $\Sigma$가 콤팩트 공간이라면 유한 집합이다. 이 조건이 성립하지 못하는 점 $z\in \Sigma$를 $f$의 분지점(分枝點, 영어: ramification point)이라고 하며, 그 상 $f(z)\in \Sigma '$을 $f$의 가지점(-點, 영어: branch point)이라고 한다.

분지점의 차수

두 리만 곡면 $\Sigma$, $\Sigma '$ 사이의 정칙 함수 $f\colon \Sigma \to \Sigma '$ 및 점 $z\in \Sigma$가 주어졌다고 하자. 만약 $z$ 근처에, 다음 조건을 만족시키는

• $z\in \Sigma '$의 열린 근방 $U\ni z$
• 열린집합 $V\supseteq f(U)$
• 복소평면의 0을 포함하는 두 열린집합 ${\tilde {U}},{\tilde {V}}\subseteq \mathbb {C}$, $0\in {\tilde {U}}\cap {\tilde {V}}$
• 전단사 정칙 함수 $\iota _{U}\colon U\to {\tilde {U}}$, $\iota _{V}\colon V\to {\tilde {V}}$
• 자연수 $n\in \mathbb {N}$

가 존재한다면, $z$의 분지 지표(分枝指標, 영어: ramification index)를 $n$이라고 한다.

$\iota _{V}\circ f\circ \iota _{U}^{-1}=(z\mapsto z^{n})$

만약 어떤 점의 분지 지표가 0이라면, $f$는 (그 점을 포함하는 연결 성분에 제한하면) 상수 함수이다. 만약 어떤 점의 분지 지표가 1이라면, 이 점은 분지점이 아니다. 만약 어떤 점의 차수가 2 이상이라면, 이는 분지점이다.

분지 지표를 갖지 않는 점은 분지점이며, 이 경우를 초월 분지점(超越分枝點, 영어: transcendental ramification point)이라고 한다.

분지 절단

정칙 함수

$f\colon \Sigma \to \Sigma '$

가 상수 함수가 아니며, 전단사 함수도 아니라면, $f$는 분지점을 갖는다. 이 경우, $f$의 역함수를 잘 정의하기 위해서는, $f$의 가지점들 및 (비콤팩트 리만 곡면의 경우 무한대)를 잇는 선분 또는 반직선들을 제거하거나 또는 이 점들에서 불연속이게 해야 한다. 이 과정을 분지 절단(영어: branch cut, 分枝切斷)이라고 한다. 즉, 이러한 선분 $L\subsetneq \Sigma '$을 골랐을 때, 정칙 함수인 역함수

$f^{-1}\colon (\Sigma '\setminus L)\times B\to \Sigma$

를 정의할 수 있다. 여기서 $B$는 피복 공간 $f^{-1}(\Sigma '\setminus L)\twoheadrightarrow \Sigma '\setminus L$의 올인 이산 공간이다.

예

제곱근

정의역과 공역이 리만 구 $\mathbb {CP} ^{1}$인 정칙 함수

$f\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}$

$f\colon z\mapsto z^{2}$

를 생각하자. 이는 두 개의 분지점을 가지며, 그 분지 지표는 다음과 같다.

분지점 $z$	가지점 $f(z)$	분지 지표
0	0	2
∞	∞	2

이 경우, 역함수 $f^{-1}$, 즉 복소수 제곱근 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선

$\mathbb {R} ^{-}$

으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 제곱근 함수

$f^{-1}\colon \mathbb {CP} ^{1}\setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {CP} ^{1}$

$f^{-1}\colon z\mapsto z^{1/2}$

를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.

$f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\\\infty &\mapsto \infty \end{cases}}$

물론, 다른 분지 절단을 고를 수 있다. 예를 들어, 양의 실수 반직선을 대신 절단할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.

$f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (0,2\pi )\\\infty &\mapsto \infty \end{cases}}$

로그

정의역과 공역이 복소평면인 정칙 함수

$f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

$f\colon z\mapsto \exp z$

를 생각하자. 그 유일한 분지점은 $z=0$이며, 이는 초월 분지점이다. (이 복소수 지수 함수는 ∞에서 본질적 특이점을 가져, $\mathbb {CP} ^{1}$ 위의 정칙 함수로 정의할 수 없다.)

그 역함수 $f^{-1}$, 즉 복소수 자연 로그 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선

$\mathbb {R} ^{-}$

으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 자연 로그 함수

$f^{-1}\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {C}$

$f^{-1}\colon z\mapsto \ln z$

를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.

$f^{-1}\colon r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto (\ln r)+\mathrm {i} \theta \qquad \left(r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\right)$

복잡한 예

다음과 같은 역함수를 갖는 함수를 생각하자.

$f^{-1}\colon z\mapsto {\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}$

이 함수 $f$의 정의역은 사실 리만 구의 2겹 분지 피복 공간이 되는, 종수 0의 리만 곡면 $\Sigma _{0}$이다. 구체적으로, 집합으로서 이는 다음과 같다.

$\Sigma _{0}=\left(\mathbb {CP} ^{1}\setminus [0,1]\right)\times \{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}}\}\sqcup (0,1)\times \{{\mathsf {C}},{\mathsf {D}}\}+\{0,1,\infty \}$

여기서 ${\mathsf {A}}$, ${\mathsf {B}}$, ${\mathsf {C}}$, ${\mathsf {D}}$는 임의의 네 기호이다.

이 조각들을 다음과 같이 이어붙인다.

$\lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=(a,{\mathsf {C}})\qquad \left(0<a<1\right)$

$\lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=(a,{\mathsf {D}})\qquad \left(0<a<1\right)$

$\lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {B}})=0$

$\lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {B}})=1$

이는 두 개의 분지점, 즉 0과 1을 갖는다. 두 분지점의 분지 지표는 둘 다 2이다. 분지점 밖에서, $f\colon \Sigma _{0}\to \mathbb {CP} ^{1}$는 2겹 피복 공간을 정의한다.

반대로, 그 역함수 $f^{-1}$를 정의하려면, 열린구간 $(0,1)$에 분지 절단을 가해야 한다.

위상수학적으로, $\Sigma _{0}$은 하나의 “홈”이 파인 두 리만 구를 짜깁기한 것이다. “홈”이 파인 리만 구는 반구와 위상 동형이므로, $\Sigma _{0}$은 위상수학적으로 구를 이룬다 (즉, 리만 구이다). 사실, 임의의 종수의 콤팩트 리만 곡면을 위와 같이 리만 구 $\mathbb {CP} ^{1}$의 분지 피복으로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 종수 $g$의 리만 곡면 $\Sigma _{g}$의 경우, 위와 같은 “홈”이 $g+1$개 파인 두 리만 구를 짜깁기하여 얻는다.

역사

제곱근이나 로그 등, 복소수에 대한 여러 함수가 일반적으로 어떤 점에서 정의되지 못하거나, 또는 “여러 개의 값을 갖는다”는 현상은 복소수의 발견 이후 곧 알려졌다. 베른하르트 리만이 1951년에 리만 곡면을 도입하였으며, 이 현상을 엄밀하게 묘사하였다.

“분지”(分枝)는 나뭇가지(枝)가 갈라진다(分)는 뜻으로, 이는 분지점의 상 근처에서 정칙 함수의 “역함수”가 “여러 값을 갖는” 모양을 빗댄 것이다.

참고 문헌

• 김용인 (2007). 《복소함수론 강의》 1판. 경문사. ISBN 89-7282-772-X. 

외부 링크

• “Branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Transcendental branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Logarithmic branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Algebraic branch point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Branch point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Branch cut”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Verrill, Helena. “Ramification index”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Branched cover of the Riemann sphere”. 《nLab》 (영어).