분지점

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복소해석학에서, 분지점(分枝點, 영어: ramification point)은 두 리만 곡면 사이의 정칙 함수가 국소적으로 피복 공간을 이루지 못하는 점이며, 그 가지점(-點, 영어: branch point)이라고 한다. 이러한 정칙 함수역함수를 정의하려면, 가지점들을 잇는 선분 또는 반직선에서 정의되지 않거나 또는 이 점들에서 불연속적이게 된다. 이러한 선분 또는 반직선을 분지 절단(分枝切斷, 영어: branch cut)이라고 한다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 리만 곡면 ,
  • 정칙 함수 . 또한, 가 국소적으로 상수 함수가 아니라고 하자.

그렇다면, 점 에 대하여, 두 조건을 생각하자.

제한 함수 피복 공간이 되는, 근방 가 존재한다.

이 조건이 성립하지 않는 점들의 집합은 속의 이산 공간을 이루며, 특히 만약 콤팩트 공간이라면 유한 집합이다. 이 조건이 성립하지 못하는 점 분지점(分枝點, 영어: ramification point)이라고 하며, 그 가지점(-點, 영어: branch point)이라고 한다.

분지점의 차수[편집]

리만 곡면 , 사이의 정칙 함수 및 점 가 주어졌다고 하자. 만약 근처에, 다음 조건을 만족시키는

  • 열린 근방
  • 열린집합
  • 복소평면의 0을 포함하는 두 열린집합 ,
  • 전단사 정칙 함수 ,
  • 자연수

가 존재한다면, 분지 지표(分枝指標, 영어: ramification index)를 이라고 한다.

만약 어떤 점의 분지 지표가 0이라면, 는 (그 점을 포함하는 연결 성분에 제한하면) 상수 함수이다. 만약 어떤 점의 분지 지표가 1이라면, 이 점은 분지점이 아니다. 만약 어떤 점의 차수가 2 이상이라면, 이는 분지점이다.

분지 지표를 갖지 않는 점은 분지점이며, 이 경우를 초월 분지점(超越分枝點, 영어: transcendental ramification point)이라고 한다.

분지 절단[편집]

정칙 함수

상수 함수가 아니며, 전단사 함수도 아니라면, 는 분지점을 갖는다. 이 경우, 역함수를 잘 정의하기 위해서는, 의 가지점들 및 (비콤팩트 리만 곡면의 경우 무한대)를 잇는 선분 또는 반직선들을 제거하거나 또는 이 점들에서 불연속이게 해야 한다. 이 과정을 분지 절단(영어: branch cut, 分枝切斷)이라고 한다. 즉, 이러한 선분 을 골랐을 때, 정칙 함수인 역함수

를 정의할 수 있다. 여기서 는 피복 공간 의 올인 이산 공간이다.

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제곱근[편집]

정의역공역리만 구 정칙 함수

를 생각하자. 이는 두 개의 분지점을 가지며, 그 분지 지표는 다음과 같다.

분지점 가지점 분지 지표
0 0 2
2

이 경우, 역함수 , 즉 복소수 제곱근 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선

으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 제곱근 함수

를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.

물론, 다른 분지 절단을 고를 수 있다. 예를 들어, 양의 실수 반직선을 대신 절단할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.

로그[편집]

정의역공역복소평면정칙 함수

를 생각하자. 그 유일한 분지점은 이며, 이는 초월 분지점이다. (이 복소수 지수 함수는 ∞에서 본질적 특이점을 가져, 위의 정칙 함수로 정의할 수 없다.)

그 역함수 , 즉 복소수 자연 로그 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선

으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 자연 로그 함수

를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.

복잡한 예[편집]

다음과 같은 역함수를 갖는 함수를 생각하자.

이 함수 의 정의역은 사실 리만 구의 2겹 분지 피복 공간이 되는, 종수 0의 리만 곡면 이다. 구체적으로, 집합으로서 이는 다음과 같다.

여기서 , , , 는 임의의 네 기호이다.

이 조각들을 다음과 같이 이어붙인다.

이는 두 개의 분지점, 즉 0과 1을 갖는다. 두 분지점의 분지 지표는 둘 다 2이다. 분지점 밖에서, 는 2겹 피복 공간을 정의한다.

반대로, 그 역함수 를 정의하려면, 열린구간 에 분지 절단을 가해야 한다.

위상수학적으로, 은 하나의 “홈”이 파인 두 리만 구를 짜깁기한 것이다. “홈”이 파인 리만 구는 반구와 위상 동형이므로, 은 위상수학적으로 구를 이룬다 (즉, 리만 구이다). 사실, 임의의 종수의 콤팩트 리만 곡면을 위와 같이 리만 구 의 분지 피복으로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 종수 의 리만 곡면 의 경우, 위와 같은 “홈”이 개 파인 두 리만 구를 짜깁기하여 얻는다.

역사[편집]

제곱근이나 로그 등, 복소수에 대한 여러 함수가 일반적으로 어떤 점에서 정의되지 못하거나, 또는 “여러 개의 값을 갖는다”는 현상은 복소수의 발견 이후 곧 알려졌다. 베른하르트 리만이 1951년에 리만 곡면을 도입하였으며, 이 현상을 엄밀하게 묘사하였다.

“분지”(分枝)는 나뭇가지()가 갈라진다()는 뜻으로, 이는 분지점의 근처에서 정칙 함수의 “역함수”가 “여러 값을 갖는” 모양을 빗댄 것이다.

참고 문헌[편집]

  • 김용인 (2007). 《복소함수론 강의》 1판. 경문사. ISBN 89-7282-772-X. 

외부 링크[편집]