오각형 테셀레이션

2015년에 발견된 15번째 오각형 타일링 유형

기하학에서 오각형 테셀레이션 또는 오각형 타일링(五角形-, 영어: pentagonal tiling)은 오각형으로 평면을 채우는 테셀레이션이다.

정오각형의 내각은 108°로, 360°를 나누지 못하기 때문에 유클리드 평면을 정오각형으로 채우는 것은 불가능하다. 그러나 쌍곡공간과 구 위에서는 정오각형 타일링이 가능하며, 특히 구 위에서의 정오각형 타일링은 정십이면체와 위상적으로 동일하다.

단일 볼록 오각형 타일링

각이 A,B,C,D,E로, 모서리가 a,b,c,d,e로 주어진 오각형 타일의 예시

한 가지의 타일 유형으로만 평면을 빈틈없이 채울 수 있는 오각형은 총 15종류가 존재한다.

마지막으로 발견된 것은 2015년으로, 2017년에 Rao (2017)에 의해 15종류가 전부임이 증명되었다. Bagina (2011)는 모서리의 일부분만 맞닿는 부분이 없도록 하는 타일링은 8종류의 오각형만이 가능함을 증명하였고, 이 결과는 Sugimoto (2012)도 독립적으로 얻었다.

2017년 5월 Michaël Rao는 타일링 가능한 볼록 오각형이 15종류뿐임을 증명하는 논문을 게재하였으며, 2017년 7월 11일 Rao의 증명의 절반 가량이 Thomas Hales에 의해 독립적으로 검증되었다.

아래에 나열된 각각의 타일 유형들은 다른 타일 유형에는 포함되지 않는 오각형 타일을 가지지만, 특정 모양의 타일들은 두 가지 이상의 타일 유형에 포함될 수 있다. 또한 어떤 타일들은 해당 타일 유형의 기본적인 타일링 패턴과 다른 방식으로도 타일링이 가능하다.

아래 그림에서 모서리의 길이 a, b, c, d, e는 꼭짓점의 각 A, B, C, D, E의 바로 시계방향 쪽에 위치한다.(따라서 A, B, C, D, E는 각각 변 a, b, c, d, e의 맞은편 각이다.)

단일 볼록 오각형의 15가지 유형

1	2	3	4	5
B + C = 180° A + D + E = 360°	c = e B + D = 180°	a = b, d = c + e A = C = D = 120°	b = c, d = e B = D = 90°	a = b, d = e A = 60°, D = 120°
6	7	8	9	10
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°	b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360°	a = b = c + e A = 90°, B + E = 180° B + 2C = 360°
11	12	13	14	15
2a + c = d = e A = 90°, C + E = 180° 2B + C = 360°	2a = d = c + e A = 90°, C + E = 180° 2B + C = 360°	d = 2a = 2e B = E = 90° 2A + D = 360°	2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32° D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68° (2B + C = 360°, C + E = 180°)	a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135° D = 105°, E = 90°

대부분의 타일 유형은 여러 모양을 가질 수 있는데, 내각이나 모서리의 길이가 서로 다를 수 있다. 또 모서리의 길이가 0에 가까워지거나 각이 180°에 가까워지는 경우도 존재한다. 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13번째 유형의 경우 오각형이 오목인 경우가 존재한다.

주기적 타일링(반복되는 패턴이 존재하는 타일링)은 평면의 결정군의 하나로 분류된다. 예를 들어 p2 (2222)은 네 개의 중심에서의 180도 회전변환으로 구성된다. 아래에는 이러한 표기법을 사용하였다.

기본 단위(primitive unit)란 평행 이동만을 사용하여 타일링을 할 수 있는 최소 타일들의 구성이다.

Reinhardt (1918)

Reinhardt (1918)는 아래의 첫 다섯 종류의 타일을 발견하였다.

유형 1

유형 1의 오각형으로 덮을 수 있는 타일링의 종류는 여러 가지가 있으며, 아래는 5가지 예시이다.

유형 1
p2 (2222)	cmm (2*22)	cm (*×)	pmg (22*)	pgg (22×)	p2 (2222)	cmm (2*22)
		p1 (°)	p2 (2222)	p2 (2222)
2-타일 기본 단위			4-타일 기본 단위
B + C = 180° A + D + E = 360°		a = c, d = e A + B = 180° C + D + E = 360°	a = c A + B = 180° C + D + E = 360°	a = e B + C = 180° A + D + E = 360°	d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + D = 180°, B + E = 270°

유형 2

유형 2
pgg (22×)
p2 (2222)
4-타일 기본 단위
c = e B + D = 180°	c = e, d = b B + D = 180°

유형 3, 4, 5

유형 3		유형 4		유형 5
p3 (333)	p31m (3*3)	p4 (442)	p4g (4*2)	p6 (632)
3-타일 기본 단위		4-타일 기본 단위		6-타일 기본 단위		18-타일 기본 단위
a = b, d = c + e A = C = D = 120°		b = c, d = e B = D = 90°		a = b, d = e A = 60°, D = 120°		a = b = c, d = e A = 60°, B = 120°, C = 90° D = 120°, E = 150°

Kershner (1968)

Kershner (1968)는 세 종류의 타일을 더 발견하였다. 그는 이전까지 발견된 5종류를 합친 총 8종류가 오각형 타일링이 가능한 모든 오각형의 유형이라고 잘못 주장하였다.

유형 6, 7, 8

아래의 타일링 예시에서 인접한 오각형 타일들끼리는 하나의 모서리만 공유한다(edge-to-edge tiling).

유형 6	유형 6 (유형 5에도 포함됨)	유형 7	유형 8
p2 (2222)		pgg (22×)	pgg (22×)
		p2 (2222)	p2 (2222)
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	a = d = e, b = c, B = 60° A = C = D = E = 120°	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°
4-타일 기본 단위	4-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위

James (1975)

1975년에 Richard E. James III는 9번째 유형을 발견하였으며, 이는 10번째 유형으로 분류되었다.

유형 10

유형 10
p2 (2222)	cmm (2*22)
a=b=c+e A=90, B+E=180° B+2C=360°	a=b=2c=2e A=B=E=90° C=D=135°
6-타일 기본 단위

Rice (1977)

아마추어 수학자인 Marjorie Rice는 1976년과 1977년에 네 종류의 타일을 추가로 발견하였다.

유형 9, 11, 12, 13

유형 9의 타일링에서 인접한 오각형 타일들끼리는 하나의 모서리만 공유하지만, 나머지 유형은 아니다. 각 기본 단위는 8개의 타일로 이루어져 있다.

유형 9	유형 11	유형 12	유형 13
pgg (22×)
p2 (2222)
b=c=d=e 2A+C=D+2E=360°	2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360°
8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위	8-타일 기본 단위

Stein (1985)

14번째 유형은 1985년에 Rolf Stein이 발견하였다.

유형 14

유형 14의 타일링은 하나의 모양으로 유일하게 존재하며, 인접한 타일끼리 모서리의 일부분만 맞닿는 부분이 존재한다(non-edge-to-edge tiling). 정확한 비율은 ${\frac {b}{a}}={\sqrt {\frac {11{\sqrt {57}}-25}{8}}}$이고, 각 B는 $\sin(B)={\frac {{\sqrt {57}}-3}{8}}$인 둔각이다. 나머지 각은 이로부터 쉽게 도출된다.

유형 14
	2a=2c=d=e A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°, D≈124.66°, E≈110.68° (2B+C=360°, C+E=180°).	6-타일 기본 단위

Mann/McLoud/Von Derau (2015)

2015년에 세 수학자 Casey Mann와 Jennifer McLoud-Mann, David Von Derau는 컴퓨터 알고리즘을 이용하여 15번째 유형을 발견하였다.

유형 15

유형 15의 타일링도 하나의 모양으로 유일하게 존재하며, 인접한 타일끼리 모서리의 일부분만 맞닿는 부분이 존재한다. 기본 단위는 12개의 타일로 이루어져 있다.

2017년 7월 Michaël Rao는 다른 유형의 볼록 오각형 타일링이 존재하지 않음을 컴퓨터를 이용하여 증명하였다. 평면을 타일링하는 볼록 다각형의 완전한 목록은 위의 15종류의 오각형과 3종류의 육각형, 모든 삼각형과 사각형으로 구성된다. 위의 유형들은 모두 주기적 타일링(periodic tiling)이므로, 증명 결과에 의하여 비주기적으로만 평면을 타일링하는 볼록 다각형은 존재하지 않는다.

유형 15
	a=c=e, b=2a, d=a √2/√3-1 A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90°	12-타일 기본 단위

비주기적 단일 오각형 타일링

아래의 중앙 그림에서 보이는, Michael Hirschhorn이 만든 6회 대칭의 예시와 같이 비주기적인 단일 오각형 타일링도 존재한다. 6회 대칭에서 각은 A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°이다.

2016년에 Bernhard Klaassen은 모든 대칭(회전대칭 $C_{n}$과 정다각형 대칭 $D_{n}$)에 대해 단일 오각형 타일링이 존재함을 증명하였다. 아래의 왼쪽과 오른쪽 그림은 각각 5회 대칭과 7회 대칭의 예시이며, n>2인 자연수 n에 대해 n회 대칭인 타일링이 가능하다.

5회 대칭인 단일 오각형 타일링

Hirschhorn의 6회 대칭인 단일 오각형 타일링

7회 대칭인 단일 오각형 타일링

각주

참고 문헌

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외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pentagon Tiling”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Pentagon Tilings
• The 14 Pentagons that Tile the Plane
• 15 (monohedral) Tilings with a convex pentagonal tile with k-isohedral colorings
• Code to display the 14th pentagon type tiling
• Code to display the 15th pentagon type tiling