쌍곡공간

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쌍곡 기하학에서, 쌍곡공간(雙曲空間, 영어: hyperbolic space)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다.

정의[편집]

가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간 은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(영어: sectional curvature)이 −1인 차원 연결 단일 연결 최대 대칭(영어: maximally symmetric) 리만 다양체이다.

성질[편집]

쌍곡공간 차원 유클리드 공간 위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

여기서 는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.

쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군 이다.

모형[편집]

차원 쌍곡공간 은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.

푸앵카레 반공간[편집]

n차원 열린 상반공간 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

리만 다양체등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(영어: Poincaré half-space model)이라고 한다. 이 경우, 측지선 평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

푸앵카레 공[편집]

반지름이 1인 n차원 열린 초공 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서 구면좌표계이다 (, ).

리만 다양체등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(영어: Poincaré ball model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면 에 수직인 원호이다.

갠스 모형[편집]

n차원 유클리드 공간 에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

여기서 구면좌표계이다. 이 리만 다양체등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(영어: Gans model)이라고 한다.[1] 갠스 모형 은 푸앵카레 공 모형 과 다음과 같이 대응한다.

갠스 모형은 쌍곡면 모형 과 다음과 같이 대응한다.

즉, 이는 쌍곡면 모형 공간으로 그대로 사영한 것이다.

쌍곡면 모형[편집]

차원 민코프스키 공간 은 다음과 같은 계량을 갖는다.

민코프스키 공간 속의, 다음과 같은 차원 초곡면을 생각하자.

이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는 등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(영어: hyperboloid model)이라고 한다.

동차공간으로서의 정의[편집]

쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군이며, 직교군이다.

참고 문헌[편집]

  1. Gans, David (1996년 3월). “A new model of the hyperbolic plane”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 73 (3). JSTOR 2315350. doi:10.2307/2315350. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]