쌍곡공간

쌍곡 기하학에서 쌍곡공간(雙曲空間, 영어: hyperbolic space)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다.

정의

$n\geq 2$ 가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간 $H^{n}$ 은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(영어: sectional curvature)이 −1인 $n$ 차원 연결 단일 연결 최대 대칭(영어: maximally symmetric) 리만 다양체이다.

성질

쌍곡공간 $H^{n}$ 은 $n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 과 위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

R_{ijkl}=-(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})

여기서 $g_{ij}$ 는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.

쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군 $\operatorname {O} ^{+}(1,n)$ 이다.

모형

$n$ 차원 쌍곡공간 $H^{n}$ 은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.

푸앵카레 반공간

n차원 열린 상반공간 $\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}=\{(z,\mathbf {x} )|z>0,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n-1}\}$ 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

ds^{2}=z^{-2}(dz^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2})

이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(영어: Poincaré half-space model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 $z=0$ 평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

\operatorname {dist} (z_{1},\mathbf {x} _{1};z_{2},\mathbf {x} _{2})=\cosh ^{-1}\left(1+{\frac {\Vert \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\Vert ^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)

푸앵카레 공

반지름이 1인 n차원 열린 초공 $B^{n}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}|\Vert \mathbf {x} \Vert <1\}$ 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서 $(r,\Omega )$ 는 구면좌표계이다 ( $r\in [0,1)$ , $\Omega \in S^{n-1}$ ).

ds^{2}={\frac {4}{(1-r^{2})^{2}}}(dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})

이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(영어: Poincaré ball model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면 $\partial B^{n}=S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}|\Vert \mathbf {x} \Vert =1\}$ 에 수직인 원호이다.

갠스 모형

n차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

ds^{2}={\frac {d{\tilde {r}}^{2}}{1+{\tilde {r}}^{2}}}+{\tilde {r}}^{2}d\Omega ^{2}

여기서 $({\tilde {r}},\Omega )$ 는 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 구면좌표계이다. 이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(영어: Gans model)이라고 한다.^[1] 갠스 모형 $({\tilde {r}},\Omega )$ 은 푸앵카레 공 모형 $(r,\Omega )$ 과 다음과 같이 대응한다.

{\tilde {r}}=2r/(1-r^{2})

갠스 모형은 쌍곡면 모형 $(t,\rho ,\Omega )$ 과 다음과 같이 대응한다.

(t,\rho )=({\sqrt {1+r^{2}}},r)

즉, 이는 쌍곡면 모형 $(t,\mathbf {x} )$ 을 $\mathbf {x}$ 공간으로 그대로 사영한 것이다.

쌍곡면 모형

$n+1$ 차원 민코프스키 공간 $\mathbb {R} ^{1,n}=\{(t,\mathbf {x} )|t\in \mathbb {R} ,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\}$ 은 다음과 같은 계량을 갖는다.

ds^{2}=-dt^{2}+\Vert d\mathbf {x} \Vert ^{2}

민코프스키 공간 속의, 다음과 같은 $n$ 차원 초곡면을 생각하자.

\{(t,\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{1,n}|t^{2}-\Vert \mathbf {x} \Vert ^{2}=1,\;t>0\}

이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(영어: hyperboloid model)이라고 한다.

동차공간으로서의 정의

쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

H^{n}\cong \operatorname {O} ^{+}(1,n)/\operatorname {O} (n)

여기서 $\operatorname {O} ^{+}(1,n)$ 은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군이며, $\operatorname {O} (n)$ 은 직교군이다.

각주

↑ Gans, David (1996년 3월). “A new model of the hyperbolic plane” (영어). 《The American Mathematical Monthly》 73 (3). doi:10.2307/2315350. JSTOR 2315350.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyperbolic geometry” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Lobachevskii geometry” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

같이 보기

[1] Gans, David (1996년 3월). “A new model of the hyperbolic plane” (영어). 《The American Mathematical Monthly》 73 (3). doi:10.2307/2315350. JSTOR 2315350.

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