멩거 스펀지

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1/3분할을 반복하는 0단계,1단계,2단계,3단계의 멩거큐브
4회의 반복만으로 구현된 멩거 큐브

수학에서, 멩거 스펀지(Menger sponge), 멩거 큐브, 멩거 유니버셜 커브, 시어핀스키 큐브, 또는 시어핀스키 스펀지[1][2][3]프랙탈 곡선이다. 1차원 칸토어 집합에 이어서 2차원 시어핀스키 카펫을 3차원으로 일반화했다. 이것은 1926년에 카를 멩거(Karl Menger)에 의해 위상 차원의 개념에 대한 그의 연구에서 처음 묘사되었다.[4][5]

멩거 스펀지는 기존의 차원개념를 정수로 당연시 하던 고정관념에 실수차원이 존재한다는 사실을 증명하는 사례이다.

멩거큐브 단계[편집]

큐브의 단위 길이를 '1'로 둘경우 멩거 큐브내에서 분할로 3등분하는 단계적 반복으로 증가하는 빈공간의 정육면체의 개수와 빈공간으로 인해 증가하는 큐브의 면적 그리고 상대적으로 줄어드는 부피와의 관계는 아래와 같다.


길이:
프랙털 차원 차원이다.
단계 정육면체-빈공간 정육면체 개수= 남은 정육면체 겉넓이 부피 이미지
0 MengerSponge0.gif
1

MengerSponge1.gif
2

MengerSponge2.gif
3 MengerSponge3.gif
총 부피 =부피 x 개수
멩거큐브2단계만으로 멩거큐브는 단위정육면체(멩거큐브0단계)면적의 2배를 넘어서며, 부피에서 배에 접근한다.

같이 보기[편집]

참고[편집]

  1. Beck, Christian; Schögl, Friedrich (1995). 《Thermodynamics of Chaotic Systems: An Introduction》 (영어). Cambridge University Press. 97쪽. ISBN 9780521484510. 
  2. Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). 《Fractals in Science》 (영어). Springer. 7쪽. ISBN 9783642779534. 
  3. Menger, Karl (2013). 《Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium》 (영어). Springer Science & Business Media. 11쪽. ISBN 9789401111027. 
  4. Menger, Karl (1928), 《Dimensionstheorie》, B.G Teubner Publishers 
  5. Menger, Karl (1926), “Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.”, 《Communications to the Amsterdam Academy of Sciences》 . English translation reprinted in Edgar, Gerald A., 편집. (2004), 《Classics on fractals》, Studies in Nonlinearity, Westview Press. Advanced Book Program, Boulder, CO, ISBN 978-0-8133-4153-8, MR 2049443