초평면 (수학)

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수학에서, 초평면(超平面, 영어: hyperplane)은 3차원 공간 속의 평면을 일반화하여 얻는 개념이다.

정의[편집]

벡터 초평면[편집]

위의 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 벡터 초평면(vector超平面, 영어: vector hyperplane)이라고 한다.[1]:109, Theorem 19

  • 극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.
    • 임의의 부분 벡터 공간 에 대하여, 만약 라면, 이거나 이다.
  • 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다. (여기서 쌍대 공간이다.)
    • (여기서 이다.)

두 가지 정의가 동치라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명:

우선 의 극대 진부분 벡터 공간라고 가정하자. 임의의 를 고정하자. 그렇다면 다음과 같은 직합 분해가 성립한다.

따라서, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 선형 범함수 를 정의할 수 있다.

이 경우 이므로 이며, 또한 이다.

반대로 를 만족시키는 선형 범함수 가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 이므로 이다. 임의의 를 고정하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 따라서

이며, 의 극대 진부분 벡터 공간이다.

아핀 초평면[편집]

위의 아핀 공간 가 주어졌고, 그 평행 이동들로 구성된 벡터 공간을 라고 하자. 부분 아핀 공간 평행 이동들로 구성된 부분 벡터 공간 의 벡터 초평면이라면, 아핀 초평면(affine超平面, 영어: affine hyperplane)이라고 한다.

사영 초평면[편집]

위의 벡터 공간 로부터 유도되는 사영 공간 사영 초평면(射影超平面, 영어: projective hyperplane)은 벡터 초평면 로부터 유도되는 부분 사영 공간 이다.

성질[편집]

위의 유한 차원 벡터 공간 의 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 벡터 초평면이다.
  • . (여기서 은 차원이다.)

각주[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]