초평면 (수학)

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수학에서, 초평면(超平面, 영어: hyperplane)은 극대 진부분 공간이다. 유한 차원 공간의 초평면은 그보다 1차원 낮은 부분 공간이다. 3차원 공간 속 평면의 개념의 일반화이다.

정의[편집]

부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 벡터 초평면(영어: vector hyperplane)이라고 한다.[1]:109-110

  • 극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.
    • 만약 가 부분 벡터 공간이라면, 이거나 이다.
  • 가 존재한다.

증명 (두 가지 정의의 동치성):

필요 조건
만약 가 극대 진부분 벡터 공간이라면, 임의의 를 고정하면, 다음과 같은 분해가 성립한다.
따라서, 다음 조건을 만족시키는 유일한 선형 범함수 를 정의할 수 있다.
그렇다면, 이므로 이며, 이다.
충분 조건
만약 선형 범함수 를 핵으로 한다면, 우선 가 존재하므로 이다. 또한, 임의의 에 대하여,
이므로
이다. 따라서 는 극대 진부분 벡터 공간이다.

성질[편집]

만약 가 유한 차원 벡터 공간이라면, 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 는 초평면이다.
  • . 즉, 여차원이 1이다. 즉, 몫 벡터 공간 의 차원이 1이다.

각주[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]