아핀 공간

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기하학에서 아핀 공간(affine空間, 영어: affine space)은 유클리드 공간의 아핀 기하학적 성질들을 일반화해서 만들어지는 구조이다. 아핀 공간에서는 점에서 점을 빼서 벡터를 얻거나 점에 벡터를 더해 다른 점을 얻을 수는 있지만 원점이 없으므로 점과 점을 더할 수는 없다.

정의[편집]

아핀 공간은 벡터 공간정칙적으로 작용하는 집합이다. 즉, 이는 벡터 공간의 주동차공간이다.

이를 풀어서 말하면, S가 집합이고 V가 벡터 공간이라 하자. 이때 함수

\Theta : S \times S \to V : (a, b) \mapsto \Theta(a, b).

를 생각하고, 그 함수값 Θ(a,b)를 a - b로 적어서 벡터 b에서 벡터 a를 빼는 것으로 보자. 이때 이 함수가 다음의 두 조건을 만족하면 S를 아핀 공간이라 한다:

1. S의 임의의 원소 b에 대해 Θb: S → V, Θb(a) = a - b는 전단사 함수이고,
2. S의 임의의 원소 a,b,c에 대해 (a-b) + (b-c) = a-c이다.

1차원 아핀 공간은 아핀 직선(affine直線, 영어: affine line)이라고 하며, 2차원 아핀 공간은 아핀 평면(affine平面, 영어: affine plane)이라고 한다.

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