영 타블로

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조합론표현론에서, 영 타블로(영어: Young tableau, 복수 영어: Young tableaux)는 대칭군일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.

정의[편집]

페러스 그림(영어: Ferrers diagram)은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.

페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.

영 타블로(영어: Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.

영 타블로의 예.

표준 영 타블로(영어: standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

  • 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
  • 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

준표준 영 타블로(영어: semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

  • 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
  • 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, 번째 칸의 고리 길이(영어: hook length) 또는 인 칸 (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.

페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들

표현론에서의 응용[편집]

대칭군[편집]

대칭군 의 복소수 기약 표현은 총 개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.

  • 각 칸의 숫자는 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.

이 경우, 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

예를 들어, S4기약 표현들은 다음과 같다.

페러스 그림 고리 길이 S4 표현 차원
□□□□ 4321 1
□□□
421
1
3
□□
□□
32
21
2
□□

41
2
1
3



4
3
2
1
1

선형군과 유니터리 군[편집]

일반선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

  • 각 열의 길이는 이하다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.

  • 각 칸의 숫자는 가운데 하나다.

이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.

특수선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

  • 각 열의 길이는 미만이다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

특수 유니터리 군 의 복소화는 특수선형군 이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.

페러스 그림 고리 길이 SU(n) 표현 차원
· · 1
1
□□ 21

2
1
□□□ 321
□□
31
1


3
2
1

이들 표현들은 N차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면

  • 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
  • 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

꼴의 텐서에 대응한다. 이는

의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

직교군[편집]

SO(n)의 경우, 을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

  • 각 열의 길이가

만약 이 짝수이고, 길이가 인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(영어: self-dual, SD) 및 반자기쌍대(영어: anti-self-dual, ASD)로 일컬어진다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.[1] 번째 열의 길이를 , 번째 행의 길이를 라고 하자 (). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)을 정의하자.[1]:10

그렇다면 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.[1]:Cor. 13, Cor. 17, Remark 18

만약 이 짝수이며 길이가 인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.

영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

  • 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
  • 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

꼴의 텐서에 대응하며,

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

SO(n)의 경우, SU(n)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다.[2] 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.

페러스 그림 고리 길이 내용 SO(n) 표현 차원 페러스 그림 Spin(n) 표현 차원 ()
· · · 1 · (s)
1 +0 □ (s)
□□ 21 +2 −1 □□ (s)

21 +0
−1
□ (s)
□□□ 321 +4 −1 +0 □□□ (s)
□□
31
1
+2 −2
+0
□□ (s)


3
2
1
+0
−1
−2
□ (s)

예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

스핀 0 ½ 1 2 3
차원 1 2 3 4 5 6 7 8
SU(2) 영 타블로 · □□ □□□ □□□□ □□□□□ □□□□□□ □□□□□□□□
SO(3) 영 타블로 · · (s) □ (s) □□ □□ (s) □□□ □□□ (s)

마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

차원 1 4 4 6 10 10
SU(4) 영 타블로 ·


□□ □□
□□
□□
SO(6) 영 타블로 · · (s) · (s) □ (SD)

□ (ASD)

마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약 표현들은 다음과 같다.

스핀 (0, 0) (½, 0) (0, ½) (½, ½) (1, 0) (0, 1) (1, ½) (½, 1) (1½, 0) (0, 1½) (1, 1) (1½, ½) (½, 1½) (2, 0) (0, 2)
SU(2) 영 타블로 (·, ·) (□, ·) (·, □) (□, □) (□□, ·) (·, □□) (□□, □) (□, □□) (□□□, ·) (·, □□□) (□□, □□) (□□□, □) (□, □□□) (□□□□, ·) (·, □□□□)
SO(4) 영 타블로 · s s □ (SD)
□ (ASD)
□ (s) □ (s) □ (s)
□ (s)
□□ □□ (SD)
□□ (ASD)
□□ (SD)
□□
□□ (ASD)
□□

심플렉틱 군[편집]

짝수 에 대하여, USp(n)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다.[2] 이 경우

을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

  • 각 열의 길이가 이하이다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.[1] 페러스 그림 의 행의 길이가 이며, 열의 길이가 라고 하자. 우선, 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)를 정의하자.[1]:6

그렇다면 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.[1]:Cor. 9

영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

  • 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
  • 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, 에 의한 축약이 모두 0이다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

꼴의 텐서에 대응하며,

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

페러스 그림 고리 길이 내용 USp(n) 표현 차원
· 1
1 0
□□ 21 +0 +1

2
1
−2
+1
□□□ 321 +0 +1 +2
□□
31
1
−2 +0
+2


3
2
1
−4
+0
+1

예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다.

차원 1 4 5 10 14 16
SO(5) 영 타블로 · · (s)
□□ □ (s)
USp(4) 영 타블로 ·
□□ □□
□□
□□

역사[편집]

영국의 수학자 앨프리드 영(영어: Alfred Young)이 1900년에 도입하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Campbell, Peter S.; Anna Stokke. “Hook–content formulae for symplectic and orthogonal tableaux” (영어). arXiv:0710.4155. 
  2. “Group theory for physicists” (PDF). 2011년 1월 12일.  이름 목록에서 |이름1=이(가) 있지만 |성1=이(가) 없음 (도움말)
  3. O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2001년 9월). “Alfred Young”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.