특수선형군

군론에서 특수선형군(特殊線型群, special linear group)은 행렬식이 1인 정사각행렬들이 이루는 군이다. 기호는 $\operatorname {SL} (n,\mathbb {F} )$ .

정의

$\mathbb {F}$ 가 체라고 하자. 특수선형군 $SL(n,\mathbb {F} )$ 는 행렬식이 1인 $n\times n$ 정사각행렬들이 이루는, 곱셈에 대한 군이다.

성질

특수선형군은 일반선형군의 정규 부분군이며, 행렬식 군 준동형의 핵이다. 즉, 다음과 같은 행렬식 사상

\det \colon \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )\to F^{\times }

이 주어졌을 때 ( $\mathbb {F} ^{\times }$ 는 0이 아닌 체의 원소들의 곱셈군), 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to \operatorname {SL} (n,\mathbb {F} )\hookrightarrow \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} ){\overset {\det }{\twoheadrightarrow }}\mathbb {F} ^{\times }\to 1

.

만약 $\mathbb {F}$ 가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 이라면, $SL(n,\mathbb {F} )$ 는 리 군을 이룬다. 이 리 군의 차원은 $n^{2}-1$ 차원이다 (실수 또는 복소 차원). 이에 대한 리 대수 ${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {F} )$ 는 대각합이 0인 $n\times n$ 정사각행렬들로 구성된다.

특수한 경우

$\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ 는 뫼비우스 변환의 군 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )$ 의 두 겹 피복 공간이다. (이는 $M\sim -M$ 으로 몫군을 취했기 때문이다.)
마찬가지로, $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ 는 복소 반평면의 자기동형사상군 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ 의 두 겹 피복 공간이다.