유니타리행렬

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유니타리행렬 (unitary matrix) U켤레전치 U^*가 곧 역행렬인, 즉 다음을 만족하는 복소 행렬이다.

U^* U = UU^* = I

여기에서 I단위행렬이다. 행렬에 대한 비슷한 개념으로 직교행렬이 있다.

성질[편집]

임의의 유한한 크기의 유니타리 행렬 U는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 주어진 두 개의 복소수 벡터 xy에 대해 U를 곱해준 것을 내적한 것은 그들의 내적과 같다. 즉,
 \langle Ux,Uy \rangle = \langle x,y\rangle
  • U는 정규행렬이다.
  • U는 대각화 가능하다. 이는 스펙트럴 정리의 결과에 따라 U가 대각행렬과 유니터리하게 닮음이란 것이다. U는 다음과 같이 분해할 수 있으며,
U=VDV^*
여기서 V는 유니타리 행렬이고, D는 대각행렬이면서 유니타리 행렬이다.
  • |det(U)|=1
  • U의 고유공간은 정규직교다.
  • UU=e^{iH}와 같이 쓸 수 있다. e는 지수행렬을 의미하고, i는 단위 허수, H는 헤르미트 행렬을 의미한다.


임의의 양의 정수 n에 대해 모든 정n각 유니타리 행렬의 집합은 행렬곱과 함께 군을 이루는데 이를 유니타리 군 U(n)이라고 한다.

동치 조건[편집]

만약 U가 정사각행렬이고 복소수 행렬일 때, 다음 조건들은 서로 동치이다.

  1. U가 유니타리이다.
  2. U^*가 유니타리이다.
  3. U는 역행렬이 존재하여 U−1 = U이다.
  4. U의 열들이 일반적인 내적에 대해 \mathbb{C}^n정규 직교 기저를 형성한다.
  5. U의 행들이 일반적인 내적에 대해 \mathbb{C}^n정규 직교 기저를 형성한다.
  6. U는 정규행렬로 그 고윳값들이 단위원 위에 있다.

같이 보기[편집]